基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法

摘要

本发明公开了一种基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法，主要解决现有原子范数定义与互质阵列虚拟域等价信号模型之间的定义失配问题，其实现步骤是：接收端使用互质阵列接收信号并建模；推导互质阵列接收信号所对应的等价虚拟信号；形成互质阵列虚拟域二阶等价多采样快拍信号的理论模型；互质阵列虚拟域等价信号的原子范数定义；设计基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的优化问题以重建虚拟域协方差矩阵；根据重建的虚拟域协方差矩阵进行波达方向估计。本发明基于虚拟域等价信号并利用原子范数设计波达方向估计方法，在保证自由度性能提升的同时实现了无网格化的波达方向估计，可用于无源探测和目标定位。

说明书

技术领域

本发明属于统计信号处理技术领域，尤其涉及基于稀疏阵列虚拟域高阶统计量的信号处理技术，具体是一种基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法，可用于无源探测和目标定位。

背景技术

互质阵列是互质采样技术在空间域上的一个典型表现形式，它提供了一个系统化的稀疏阵列架构方案，能够突破传统均匀线性阵列自由度受限的瓶颈，实现各类统计信号处理方法自由度性能的提升。与均匀线性阵列相比，互质阵列能够采用相同个数的物理天线阵元取得更多的自由度以实现波达方向估计，因而受到了广泛的关注。为了增加自由度，一个常见的做法是将互质阵列接收信号推导至虚拟域，并利用二阶虚拟域等价接收信号进行统计信号处理；由于虚拟域中所包含的虚拟阵元个数大于物理天线阵元个数，因此基于虚拟域统计信号处理的波达方向估计方法的自由度得到了显著提高。

原子范数是一种常用的数学定义，可用来探究接收信号统计量的统计信息，是实现统计信号处理的一个重要参数定义。基于一阶接收信号的原子范数定义已被应用于包括阵列信号处理、信息论、数理统计分析等多个领域。以阵列信号处理为例，原子范数的引入能够实现无网格化的波达方向估计，克服了经典方法引入预定义空间采样网格点所导致的波达方向估计精度限制。因此，基于虚拟域等价接收信号进行原子范数的分析能够在充分利用自由度优势的同时，进一步提升现有互质阵列统计信号处理方法的各项性能指标。但是，经典的原子范数定义不能直接应用于基于虚拟域的统计信号处理问题，原因在于互质阵列虚拟域等价接收信号实际上为二阶统计量，其中包含的各信号源功率信息为实数值；而实际物理天线阵元一阶接收信号中的信号波形参量为复数，同时包含信号的幅度和相位信息；故虚拟域二阶等价接收信号在原子范数的表示上存在模型失配的问题，无法通过经典的原子范数定义直接进行表示。

发明内容

本发明的目的在于针对上述经典原子范数定义与虚拟域二阶等价接收信号之间存在的模型失配问题，提出一种基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法，为在基于虚拟域统计信号的波达方向估计方法中应用原子范数提供了可行的思路和有效的解决方案。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法，包含以下步骤：

(1)在接收端使用2M+N-1个物理天线阵元架构互质阵列：构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含2M个间距为Nd的天线阵元，其位置为0,Nd,…,(2M-1)Nd，第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；这里，M、N为一对互质整数，且M<N；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将这两个稀疏均匀线性子阵列按照首个天线阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含2M+N-1个物理天线阵元的非均匀互质阵列；假设有K个来自θ₁,θ₂,,θ_K方向的远场窄带非相干信号源，则该互质阵列接收信号x(t)可建模为：

其中，s_k(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θ_k)为θ_k方向的导引向量，表示为：

其中，u_i,i＝1,2,,2M+N-1，表示互质阵列中第i个物理天线阵元的实际位置，且u₁＝0，[·]^T表示转置操作。利用采集的T个采样快拍，得到采样协方差矩阵

这里，(·)^H表示共轭转置；

(2)向量化互质阵列接收信号的采样协方差矩阵获得虚拟阵列等价接收信号

其中，为(2M+N-1)²×K维虚拟阵列导引矩阵，p＝[p₁,p₂,…,p_K]^T包含K个入射信号源的功率，为噪声功率，i＝vec(I_2M+N-1)。这里，vec(·)表示向量化操作，即把矩阵中的各列依次堆叠以形成一个新的向量，(·)^*表示共轭操作，表示克罗内克积，I_2M+N-1表示(2M+N-1)×(2M+N-1)维单位矩阵；向量对应的虚拟阵列中各虚拟阵元的位置为

集合中有一个包含2L-1个虚拟阵元、以0为中心、位置为(-MN-M+1)d到(MN+M-1)d的一段连续虚拟均匀阵列这里，L＝MN+M，该虚拟均匀阵列的等价接收信号可通过选取向量中与各虚拟阵元位置相对应的元素获得，可建模为：

其中，V为对应于该虚拟均匀阵列的(2L-1)×K维导引矩阵，中的元素由向量i中相应位置上的元素组成；

(3)虚拟域等价接收信号的理论值(即理想无噪声情况下的信号模型)可表示为：

其中V＝[v(θ₁),(θ₂),…,v(θ_K)]，v(θ_k),k＝1,2,…,K为对应于θ_k的虚拟均匀阵列导引向量；将虚拟均匀阵列切割成L个虚拟均匀线性子阵列，各虚拟均匀线性子阵列包含L个虚拟阵元，且第l个虚拟均匀线性子阵列的阵元位置为(-l+1)d到(L-l)d，l＝1,2,…,L；相应地，第l个虚拟均匀线性子阵列的接收信号理论模型可表示为：

其中，v_l(θ_k)为对应于θ_k的第l个虚拟均匀线性子阵列导引向量，定义为：

这里，v_l表示中的第l个元素；将对应于这L个虚拟均匀线性子阵列的理论接收信号y_l,l＝1,2,…,L看做虚拟域中的L个采样快拍，虚拟域二阶等价多采样快拍信号的理论模型可表示为Y＝[y₁,y₂,…,y_L]；将各虚拟域采样快拍间存在的相位差与y中包含的信号源功率p共同作为用来表示虚拟域等价接收信号的原子定义参量，以进行基于虚拟域等价信号的原子范数定义；

(4)将l＝1条件下的虚拟均匀线性子阵列作为参考阵列，则参考阵列的导引向量r(θ)可以写为：

其中，θ为入射信号的方向。相应地，各虚拟域采样快拍与该参考阵列的相位差b(θ)可表示为：

将参考阵列的导引向量r(θ)与各虚拟域采样快拍的相位差b(θ)作为用于表示Y的原子的参量，则用于描述虚拟域二阶等价多采样快拍信号理论模型Y的原子B(θ)可表示为：

B(θ)＝r(θ)b^H(θ)，

其中，B(θ)为L×L维矩阵，θ∈Θ，Θ为入射信号方向所包括的范围；相应地，其原子集合可表示为：

则基于互质阵列虚拟域等价信号的原子范数可定义为：

其中，表示原子范数，inf表示下确界，h为大于零的常数，conv(·)表示集合的凸包；

(5)根据互质阵列虚拟域等价信号原子范数的定义，虚拟域协方差矩阵的重建可通过构造以下以Y为变量的优化问题实现：

其中，

这里，表示向量中的第个元素；∈为阈值常数，用于约束矩阵Y的重建误差；‖·‖_F表示Frobenius范数。求解上述优化问题获得最优解则虚拟域协方差矩阵可通过求解的主平方根得到，数学上可表示为：

其中，表示以向量为首列的赫米特对称Toeplitz矩阵，即重建的虚拟域协方差矩阵；

(6)根据重建的虚拟域协方差矩阵进行波达方向估计。

进一步地，步骤(4)所述的基于互质阵列虚拟域等价信号的原子范数可通过以下半正定规划的形式等价表示：

其中，Tr(·)表示求迹操作，表示以向量z为首列的赫米特对称Toeplitz矩阵，保证了矩阵为半正定矩阵，且

进一步地，步骤(4)所述的原子范数定义方法不仅仅只适用于互质阵列，应用上涉及基于虚拟域的统计信号处理，形成类似于二阶虚拟域等价接收信号理论模型y的各类阵列结构均可使用，如：嵌套阵列、一般化的互质阵列、最小冗余阵列、最小孔洞阵列等。

进一步地，步骤(5)所述的虚拟域协方差矩阵重建优化问题可等价表示为以下以矢量z为变量的优化问题：

其中，

为阈值常数，用于约束协方差矩阵的重建误差；保证了重建的协方差矩阵满足半正定的条件，求解上述优化问题可得到最优化值相应地，重建的Toeplitz矩阵为内插虚拟阵列协方差矩阵。

进一步地，步骤(5)所述的虚拟域协方差矩阵重建优化问题可等价表示为以下以矢量z为变量的优化问题：

其中μ为正则化参数，用于在最小化过程中权衡矩阵的重建误差和z的原子范数。求解上述优化问题可得到最优化值相应地，重建的Toeplitz矩阵为内插虚拟阵列协方差矩阵。

进一步地，步骤(6)中的波达方向估计，可采用以下方法：多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等。

进一步地，步骤(6)中，通过多重信号分类方法进行波达方向估计，具体为：画出虚拟域空间谱P_MUSIC(θ)：

其中d(θ)是L×1维虚拟阵列导引矢量，对应于位置为由0到(L-1)d的一段虚拟均匀线性阵列；E_n是L×(L-K)维矩阵，表示虚拟阵列协方差矩阵的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱P_MUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明通过虚拟域中多个均匀线性子阵列的提取及其相应等价接收信号的建模，构造虚拟域等价多采样快拍信号，并通过各虚拟域采样快拍之间的相位差提取虚拟域二阶等价接收信号的相位信息，克服了虚拟域等价二阶信号中包含的实数值功率信息与经典原子范数定义相悖带来的挑战；

(2)本发明利用了各虚拟域采样快拍之间的相位差及二阶统计量中包含的各信号源实数功率值进行原子范数的定义，克服了经典原子范数定义与虚拟域二阶等价接收信号之间存在的模型失配问题，为原子范数在基于虚拟域统计量的阵列信号处理领域中的应用提供了理论保障；

(3)本发明基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数的表示设计波达方向估计方法，无需预先定义空间采样网格点来设计优化问题，在增加自由度性能的同时，实现了无网格化的波达方向估计。

附图说明

图1是本发明的总体流程框图。

图2是本发明中组成互质阵列的一对稀疏均匀线性子阵列结构示意图。

图3是本发明中互质阵列的结构示意图。

图4是互质阵列虚拟域二阶等价多采样快拍信号中各采样快拍所对应的虚拟域子阵列及相应的虚拟域接收信号示意图。

图5是本发明所提方法的空间功率谱效果图。

具体实施方式

以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。

为了克服二阶虚拟域等价接收信号与经典原子范数间存在的模型失配问题，本发明提供了一种基于互质阵列虚拟域等价信号的原子范数表示方法，以便利用原子范数研究基于二阶虚拟域等价信号的波达方向估计问题。参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤一：接收端使用互质阵列接收信号并建模。在接收端使用2M+N-1个物理天线阵元架构互质阵列：首先选取一对互质整数M、N，且M<N；然后，参照图2，构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含2M个间距为Nd的天线阵元，其位置为0,Nd,…,(2M-1)Nd，第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；接着，将这两个稀疏均匀线性子阵列按照首个天线阵元重叠的方式进行子阵列组合，参照图3，获得实际包含2M+N-1个物理天线阵元的非均匀互质阵列。假设有K个来自θ₁,θ₂,…,θ_K方向的远场窄带非相干信号源，则该互质阵列接收信号x(t)可建模为：

其中，s_k(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θ_k)为θ_k方向的导引向量，表示为：

其中，u_i,i＝1,2,…,2M+N-1表示互质阵列中第i个物理天线阵元的实际位置，且u₁＝0，[·]^T表示转置操作。利用采集的T个采样快拍，得到采样协方差矩阵

这里，(·)^H表示共轭转置。

步骤二：推导互质阵列接收信号所对应的等价虚拟信号。向量化互质阵列接收信号的采样协方差矩阵获得虚拟阵列等价接收信号

其中，为(2M+N-1)²×K维虚拟阵列导引矩阵，p＝[p₁,p₂,…,p_K]^T包含K个入射信号源的功率，为噪声功率，i＝vec(I_2M+N-1)。这里，vec(·)表示向量化操作，即把矩阵中的各列依次堆叠以形成一个新的向量，(·)^*表示共轭操作，表示克罗内克积，I_2M+N-1表示(2M+N-1)×(2M+N-1)维单位矩阵。向量对应的虚拟阵列中各虚拟阵元的位置为

集合中有一个包含2L-1个虚拟阵元、以0为中心、位置为(-MN-M+1)d到(MN+M-1)d的一段连续虚拟均匀阵列这里，L＝MN+M，该虚拟均匀阵列的等价接收信号可通过选取向量中与各虚拟阵元位置相对应的元素获得，可建模为：

其中，V为对应于该虚拟均匀阵列的(2L-1)×K维导引矩阵，中的元素由向量i中相应位置上的元素组成。

步骤三：形成互质阵列虚拟域二阶等价多采样快拍信号的理论模型。由于原子范数的定义是基于理想条件的，即不包含噪声分量，故步骤二中获得的虚拟域等价接收信号的理论值可表示为：

其中V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)]，v(θ_k),k＝1,2,…,K为对应于θ_k的虚拟均匀阵列导引向量。由于虚拟域等价接收信号y为一个二阶统计量，包含各入射信号源的功率信息p；由于各信号的功率为实数值，而一阶接收信号模型中的信号波形信息为复数，同时包含幅度和相位信息，故现有基于一阶接收信号的原子范数定义在基于虚拟域的统计信号处理中存在模型失配的问题。为了获取虚拟域二阶等价接收信号的相位信息，本发明提出将虚拟均匀阵列切割成L个虚拟均匀线性子阵列，如图4所示，各虚拟均匀线性子阵列包含L个虚拟阵元，且第l个虚拟均匀线性子阵列的阵元位置为(-l+1)d到(L-l)d，l＝1,2,…,L，则第l个虚拟均匀线性子阵列的接收信号理论模型可表示为：

其中，v_l(θ_k)为对应于θ_k的第l个虚拟均匀线性子阵列导引向量，定义为：

这里，v_l表示中的第l个元素。将对应于这L个虚拟均匀线性子阵列的虚拟域二阶等价理论接收信号y_l,l＝1,2,…,L看做虚拟域中的L个采样快拍，虚拟域二阶等价多采样快拍信号的理论模型可表示为Y＝[y₁,y₂,…,y_L]。由于各虚拟域采样快拍间存在相位差，可利用该相位差与理论接收信号模型y中包含的信号源功率p共同作为用来表示虚拟域等价接收信号的原子定义参量，以进行接下来的原子范数定义。

步骤四：互质阵列虚拟域等价信号的原子范数定义。将图4中的第一个虚拟均匀线性子阵列(l＝1)视为参考阵列，则参考阵列的导引向量r(θ)可以写为：

其中，θ为入射信号的方向。相应地，各虚拟域采样快拍与该参考阵列的相位差b(θ)可表示为：

将参考阵列的导引向量r(θ)与各虚拟域采样快拍的相位差b(θ)作为用于表示Y的原子的参量，则用于描述虚拟域二阶等价多采样快拍信号理论模型Y的原子B(θ)可表示为：

B(θ)＝r(θ)b^H(θ)，

其中，B(θ)为L×L维矩阵，θ∈Θ，Θ为入射信号方向所包括的范围，如：[-90°,90°]。相应地，其原子集合可表示为：

因此，基于互质阵列虚拟域等价信号的原子范数可定义为：

其中，表示原子范数，inf表示下确界，h为大于零的常数，conv(·)表示集合的凸包。与此同时，基于互质阵列虚拟域等价信号的原子范数也可以用以下半正定规划的形式等价表示：

其中，Tr(·)表示求迹操作，表示以向量z为首列的赫米特对称Toeplitz矩阵，保证了矩阵为半正定矩阵，且

需要指出的是，该原子范数的定义方法不仅仅只适用于互质阵列，应用上涉及基于虚拟域的统计信号处理，形成类似于二阶虚拟域等价接收信号理论模型y的各类阵列结构均可使用，如：嵌套阵列、一般化的互质阵列、最小冗余阵列、最小孔洞阵列等。

步骤五：设计基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的优化问题以重建虚拟域协方差矩阵。根据互质阵列虚拟域等价信号原子范数的定义，虚拟域协方差矩阵的重建可通过构造以下以Y为变量的优化问题实现：

其中，

这里，表示向量中的第个元素；∈为阈值常数，用于约束矩阵Y的重建误差；‖·‖_F表示Frobenius范数。求解上述优化问题获得最优解则虚拟域协方差矩阵可通过求解的主平方根得到，且该虚拟域协方差矩阵为赫米特对称的Toeplitz矩阵，数学上可表示为：

其中，表示重建的虚拟域协方差矩阵的第一列。

上述优化问题可等价表示为以下以矢量z为变量的优化问题：

其中，

为阈值常数，用于约束协方差矩阵的重建误差；保证了重建的协方差矩阵满足半正定的条件，求解上述优化问题可得到最优化值相应地，重建的Toeplitz矩阵为内插虚拟阵列协方差矩阵。

上述优化问题可转化为以下以矢量z为变量的优化问题：

其中μ为正则化参数，用于在最小化过程中权衡矩阵的重建误差和z的原子范数。求解上述优化问题可得到最优化值相应地，重建的Toeplitz矩阵为内插虚拟阵列协方差矩阵。

步骤六：根据重建的虚拟域协方差矩阵进行波达方向估计。通过引入经典的方法，如多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等，可以求得波达方向估计结果。以多重信号分类方法为例，画出虚拟域空间谱P_MUSIC(θ)

其中d(θ)是L×1维虚拟阵列导引矢量，对应于位置为由0到(L-1)d的一段虚拟均匀线性阵列；E_n是L×(L-K)维矩阵，表示虚拟阵列协方差矩阵的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱P_MUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。

下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。

仿真实例：采用互质阵列接收入射信号，其参数选取为M＝3，N＝5，即架构的互质阵列共包含2M+N-1＝10个物理阵元。假定入射窄带信号个数为12，且入射方向均匀分布于-60°至60°这一空间角度域范围内；信噪比设置为10dB，采样快拍数T＝500；正则化参数μ设置为0.25。

本发明所提出的基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数表示的波达方向估计方法空间功率谱如图5所示，其中垂直虚线代表入射信号源的实际方向。可以看出，本发明所提方法能够有效分辨这12个入射信号源。而对于传统采用均匀线性阵列的方法，利用10个物理天线阵元最多只能分辨9个入射信号，以上结果体现了本发明所提方法实现了自由度的增加。

综上所述，本发明充分考虑了虚拟域二阶等价接收信号与实际天线阵元的一阶接收信号模型之间的区别与联系，通过虚拟均匀线性子阵列构造虚拟域的等价多采样快拍，并利用虚拟域各等价采样快拍间的相位差实现基于互质阵列虚拟域等价信号原子范数的定义，克服了经典原子范数原理与虚拟域等价接收信号之间存在的模型失配问题，为基于虚拟域的二阶等价信号提供了原子范数的详细定义，并基于该定义设计了优化问题以重建虚拟阵列协方差矩阵，进而在保证自由度增加的同时实现了无网格化的波达方向估计。