Bewertung von amerikanischen Optionen unter Berücksichtigung diskreter Dividenden

摘要

Optionen nehmen an den heutigen Finanzmärkten eine wichtige Stellung ein. Die Ermittlung ihrer fairen Preise ist darum ein bedeutendes Thema in der Finanzmathematik. Unter der Annahme, dass der Basiswert keine Dividenden ausschüttet, lässt sich eine europäische Option im Black-Scholes-Modell einfach analytisch bewerten. Aufgrund ihres umfassenden Ausübungsrechts ist der Wert einer amerikanischen Option von einer optimalen Ausübungsstrategie abhängig. Aus diesem Grund lassen sich amerikanische Kontrakte nicht analytisch bewerten. Es muss auf numerische Methoden ausgewichen werden. Diese erlauben dafür die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen.Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, das Bewertungsproblem für amerikanische Optionen aufzuzeigen und unter Anwendung der Finiten-Differenzen-Methode numerisch zu lösen. Es wird ein Programm zur Bestimmung des fairen Preises amerikanischer Optionen unter Berücksichtigung diskreter Dividendenzahlungen ausgearbeitet.In einem ersten Schritt wird das Konzept der Optionsbewertung mittels finiter Differenzen für den einfachen Fall von europäischen Optionen beschrieben. Anschliessend wird eine Kernroutine für dieses Bewertungsproblem implementiert. Hiernach wird auf die wesentliche Herausforderung bei der Bewertung von Optionen amerikanischen Stils eingegangen. Die gewonnenen Einsichten werden genutzt, um die Kernroutine für die Bewertung amerikanischer Optionen zu adaptieren. Das Problem der freien Randwerte wird dabei mit Hilfe des Projected Successive Over-Relaxation-Verfahren bewältigt. Im Anschluss werden die Auswirkungen diskreter Dividendenzahlungen erörtert und schliesslich ein Algorithmus implementiert, welcher das Bewertungsproblem für amerikanische Optionen löst und auch mit Dividendenzahlungen umgehen kann.Die Routinen wurden nach jedem Entwicklungsschritt anhand von Beispielen aus der Fachliteratur getestet. Die Genauigkeit der erzeugten Resultate legt die Vermutung nahe, dass die Programme zuverlässig arbeiten.Die Implementierung ist ohne grosse Mühe zu bewerkstelligen. Die Routinen zeichnen sich durch Stabilität aus und nehmen keine lange Rechenzeit in Anspruch. Auf einfache Weise lassen sich mit den Verfahren aufschlussreiche Eindrücke über das Verhalten amerikanischer Optionen bei Dividendenzahlungen gewinnen. Die Routinen können optimiert werden, in-dem die Annahme homogener Randbedingungen fallen gelassen wird und stattdessen zutreffendere inhomogene Randbedingungen implementiert werden. Weiter wäre es möglich Konvergenz zu beschleunigen, indem anstelle des Gauss-Seidel-Verfahrens mit einer tatsächlichen Überrelaxation gearbeitet würde.