Parciális differenciálegyenletek és funkcionál differenciálegyenletek kvalitatív vizsgálata = Qualitative properties of partial differential equations and functional differential equations

摘要

1. A nemlineáris parabolikus parciális differenciálegyenletek témájában olyan egyenletek és rendszerek megoldásának létezését, egyértelműségét és kvalitatív tulajdonságait vizsgáltuk, amelyek az ismeretlen függvénytől "nem-lokálisan" függő tagokat is tartalmaznak (pl. azok integrálját tartalmazzák). 2. A kutatási időszak első felében vizsgáltunk lángterjedést leíró reakció-diffúzió egyenleteket, melyek esetében főleg az utazó hullám megoldások létezését és stabilitását tanulmányoztuk. Az elliptikus egyenletekkel kapcsolatban a pozitív megoldások számát vizsgáltuk. Két nyitott problémát is sikerült megoldani a szinguláris egyenletekkel kapcsolatban. 3. Megvizsgáltuk a parabolikus típusú parciális differenciálegyenletek véges differenciás és lineáris véges elemes diszkretizációjának kvalitatív tulajdonságait. A Richardson extrapolácó segítségével új eredményeket értünk el az operátor szeletelés módszerében is, és elemeztük ezek alkalmazhatóságát modell jellegű, illetve valós légszennyezési feladatokon. 4. A numerikus dinamika területén elért eredmények a diszkretizációk kvalitatív-geometriai elméletét gazdagítják. Továbbá fontos eredményeket nyertünk a számítógéppel segített káosz bizonyításokban. Ennek során nem volt szükség a korábbi bizonyítások lényegi részét képező fokszám-, illetve indexelméleti megfontolásokra, csak a Brouwer-féle fixpont tételt alkalmaztuk. | 1. In the field of nonlinear parabolic partial differential equations we proved existence, uniqueness and qualitative properties of solutions to equations and systems, containing "non-local" terms (e.g. integrals of the unknown functions). 2. In the first part of the period of research we investigated reaction-diffusion equations describing flame propagation. We studied mainly the existence and stability of traveling wave solutions. Concerning elliptic equations we studied exact multiplicity of positive solutions. We could solve two open problems related to singular equations. 3. We have considered the qualitative properties of the discrete models for the linear parabolic equations, obtained by the finite difference and linear finite element discretizations. Using the Richardson extrapolation, we constructed several new operator splitting methods. We analyzed the applicability of these methods to model problems and to the real-life air pollution models. 4. In the field of numerical dynamics our results are connected with the qualitative-geometrical theory of discretizations. Further, we have given computer assisted proofs on chaotic behavior of certain systems. The proofs avoid of referring to any results of applied algebraic topology and rely only on the Brouwer fixed point theorem.