ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, НЕ ОГРАНИЧЕННОЕ НА КОНЦАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА

摘要

Строится вычислительная схема для приближенного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода, не ограниченного на концах отрезка интегрирования [- 1, 1]. Решение уравнения ищется в виде ряда по многочленам Чебыше-ва первого рода. Ядро и правая часть уравнения разлагаются в ряды с применением многочленов Чебышева первого рода, коэффициенты которых вычисляются приближенно по квадратурным формулам Гаусса. Для коэффициентов разложения многочленов Чебышева второго рода в ряды по многочленам Чебышева первого рода найдены точные значения. Коэффициенты разложения искомой функции, т. е. решения, находятся из решения линейных алгебраических уравнений. Для обоснования вычислительной схемы используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. Вводится пространство гёльдеровых функций с соответствующими нормами. В этом пространстве рассматриваются заданные сингулярные и соответствующие приближенные операторы. Приводятся условия существования обратного сингулярного оператора и доказывается существование обратного приближенного оператора. При выполнении условия существования у заданных функций, имеющих производные до некоторого порядка, принадлежащих классу Гёльде-ра, оценивается погрешность вычисления и дается порядок её стремления к нулю.%A computational scheme is constructed for the approximate solution of a singular integral equation of the first kind of an unbounded integration segment at the ends [- 1, 1]. The solution of the equation is sought in the form of a series in Chebyshev polynomials of the first kind. The kernel and the right-hand side of the equation decompose into series using the Chebyshev polynomials of the first kind, whose coefficients are calculated approximately by Gaussian quadrarure formulas. For the coefficients of the decomposition of Chebyshev polynomials of the second kind into series in Chebyshev polynomials of the first kind, exact values are found. The coefficients of the expansion of the unknown function, that is, the solution, are found from the solution of linear algebraic equations. To justify the computational scheme, methods of functional analysis and the theory of orthogonal polynomials are used. We introduce the space of Holder functions with the corresponding norms. In this space, we consider the given singular and corresponding approximate operators. Conditions for the existence of an inverse singular operator are given and the existence of an inverse approximate operator is proved. When the existence condition for the given functions having derivatives up to some order belonging to the Holder class is satisfied, the error in the computation is evaluated and the order of its tendency to zero is given.