Lipschitzian norm estimate of one-dimensional Poisson equations and applications

摘要

Par un calcul direct, on identifie explicitement la norme Lipschitzienne de la solution de l'équation de Poisson —£G = g en terme de différentes normes de g, où C est l'opérateur de Sturm-Liouville ou le générateur d'une diffusion non singulière sur un intervalle. Ainsi, nous pouvons obtenir, d'une part la meilleure constante dans l'inégalité de Poincaré L~1(une inégalité un peu plus forte que l'inégalité isopérimétrique de Cheeger) et d'autre part certaines inégalités de transport-information et de concentration fines pour la moyenne empirique. On conclut avec des exemples illustratifs.%By direct calculus we identify explicitly the Lipschitzian norm of the solution of the Poisson equation — CG — g in terms of various norms of g, where £ is a Sturm-Liouville operator or generator of a non-singular diffusion in an interval. This allows us to obtain the best constant in the L -Poincar6 inequality (a little stronger than the Cheeger isoperimetric inequality) and some sharp transportation-information inequalities and concentration inequalities for empirical means. We conclude with several illustrative examples.