两个趣题的计算公式

摘要

@@　　趣题1　设f(x)是x(x∈N)的整数部分，求f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N)的表达式，并计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2001)的值.rn　　解　由题意知，所求和中相同的项有(n+1)2-n2=2n+1(个).于是，可用分组求和的方法解.rnSn组={f(1)+f(2)+f(3)}+{f(4)+f(5)+…+f(8)}+{f(9)+f(10)+…+f(15)}+{f(16)+f(17)+…+f(24)}+…+f(n)rn=(1+1+…+13个)+(2+2+…+25个)+(3+3+…+37个)+…+f(n)=1*3+2*5+3*7+…+n(2n+1).rn　　由于所求和Sn组可视为各段项数越来越多(呈等差数列)的分段递增数列，它是一种有趣的数列.其解法是：rn　　设数列{an}的通项为an=m(m为分段数列各段的顺序数；以下皆如此)，由等差数列求和公式，得前(m-1)组项数之和为rn　　3+5+7+…+(2m-1)=m2-1.rn　　令(m2-1)+1=n,解得m=n.rn　　相同的项有(2n+1)(n=1,2,…)个，所以m为n的整数部分，记作m=［n］(符号［x］表示不超过实数x的最大整数).