素环上的环同构及完全保交换性映射

摘要

令R是含单位元的素环,则R到其自身的每个完全保交换性的满射 Φ 都具有形式Φ=LC°π,其中C∈Z(R)是可逆元,π是R的环同构.令R是含单位元的素对合环,其对合运算记为?,则R到其自身的每个完全保斜交换性的满射Φ 都具有形式Φ=LC°π,其中C∈Z(R)是可逆对称元,π是R的?-环同构.如果映射是保单位元的,则上述结果中环为素的假设可以去掉,即一般环(对合环)上的满射是环同构(对合环同构)当且仅当它是保单位的且完全双边保交换性(斜交换性)的.上述结果应用到算子代数,获得C?-代数、von Neumann代数、Banach空间标准算子代数、Krein空间不定自伴标准算子代数以及对称标准算子代数上完全保交换性或斜交换性满射的具体刻画.对于标准算子代数的情形,映射为满射的条件可以减弱为值域包含所有的一秩幂等算子.