关于闭图像定理的一个注记

摘要

闭图像定理表明Banach空间中线性算子图像的闭性蕴含算子的连续性.相反地,一个更一般的结论是从拓扑空间到Hausdorff空间的映射的连续性蕴含其图像的闭性.本文通过举例说明了其逆命题不成立,特别强调了值域空间的Haudorff分离性的重要性.此外,利用此结论证明了 Banach空间中线性算子对于弱拓扑的连续性与对于强拓扑的连续性等价.最后,通过对值域空间附加紧致性条件建立了从一个拓扑空间到一个紧致Hausdorff空间的映射的连续性与其图像闭性之间的等价刻画.