罗士林勾股数组公式的推广与刁蕃都方程

摘要

关于所有勾股数的代数表达式 ,古希腊数学家刁蕃都 ( diophantus)曾设勾股数为 ( x+2 xy、y+2 xy、x+y+2 xy) [1] ,其中 x、y为正整数 ,2 xy是一个完全平方数 ,不过这种设法不易求解。我国清代数学家罗士林提出勾股数为 ( m2 -n2、2 mn、m2 +n2 ) [2 ] ,m>n且∈Z+ ,但这个公式并不能代表所有的勾股数。本文通过证明给出了所有勾股数的两个代数表达式 :罗士林勾股数组公式的推广及其 ,这则简明系统地解决了二次不定方程 a2+b2 =c2的整数解问题。而本文的第二部分则在命题 的条件下证明了刁蕃都方程与罗士林勾股数组公式的推广等价 ,从而给刁蕃都方程中 a2 +b2 =c2这一不定方程一简明回答。另外在本文的第三部分附注中给出了刁蕃都方程的完全等价公式 ,从而使 ( x、y)与 ( m、n)之间建立了一一对应关系。