基于神经网络的差分方程快速求解方法

摘要

近年来,人工神经网络(artificial neural networks,ANN),尤其是深度神经网络(deep neural networks,DNN)由于其在异构平台上的高计算效率与对高维复杂系统的拟合能力而成为一种在数值计算领域具有广阔前景的新方法. 在偏微分方程数值求解中,大规模线性方程组的求解通常是耗时最长的步骤之一,因此,采用神经网络方法求解线性方程组成为了一种值得期待的新思路. 但是,深度神经网络的直接预测仍在数值精度方面仍有明显的不足,成为其在数值计算领域广泛应用的瓶颈之一. 为打破这一限制,本文提出了一种结合残差网络结构与校正迭代方法的求解算法. 其中,残差网络结构解决了深度网络模型的网络退化与梯度消失等问题,将网络的损失降低至经典网络模型的1/5000; 修正迭代的方法采用同一网络模型对预测解的反复校正,将预测解的残差下降至迭代前的10?5倍. 为验证该方法的有效性与通用性,本文将该方法与有限差分法结合,对热传导方程与伯格方程进行了求解. 数值结果表明,本文所提出的算法对于规模大于1000的方程组具有10倍以上的加速效果,且数值误差低于二阶差分格式的离散误差.