(2+1)维破裂孤立子方程和WBK方程的求解研究

摘要

近年来，非线性科学迅速发展成为一门新的学科。孤子理论作为非线性科学的一个重要分支，从二十世纪六十年代以来获得了重大的发展，在流体力学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，得到了广泛的研究和应用。而对于非线性发展方程的求解成为非线性科学研究的关键所在，也是难点所在。至今，能够求得非线性发展方程精确解的方法有反散射方法，Hirota方法，Wronskian技术，行波法等等。
　　 本文正是以非线性发展方程的理论为基础，研究了几种重要的求解的方法，并求出了（2+1）维破裂孤立子方程和Whitham—Broer—Kaup（WBK）方程的精确解。
　　 本文章节及内容安排如下：
　　 第一章首先介绍了孤子理论的发展史，接着介绍了几种常用的求解非线性发展方程的方法，通过举例给出了一般的求解过程。
　　 第二章具体介绍了Hirota方法。它是20世纪70年代由Hirota发展起来的一种求解非线性发展方程的精确求解法。我们介绍了双线性算子及其性质和线性化常用的三种变换，然后通过（2+1）维破裂孤立子方程给出了Hirota方法求解方程的详细过程。
　　 第三章介绍了Wronskian技术。Wronskian技术通过得到非线性发展方程的双线性形式，构造Wronskian行列式，再将Wronskian行列式直接代入双线性方程中进行验证。我们运用Wronskian技术求得（2+1）维破裂孤立子方程Wronskian形式的N孤子解，并给出相应的证明。
　　 第四章介绍了行波法，并通过求解Whitham—Broer—Kaup（WBK）方程详细给出了Tanh—函数法和Exp—函数的的具体求解过程。通过比较两种方法所求得的解，证实我们运用Exp—函数法求得的解比Tanh—函数法求得的解更为广泛。

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 引言

1.2 孤子理论的发展史

1.3 研究非线性发展方程的常用方法介绍

第二章 HIROTA方法

2.1 引言

2.2 双线性算子的定义和性质

2.2.1 双线性算子的定义

2.2.2 双线性算子的性质

2.3 双线性化的常用变换

2.3.1 有理变换

2.3.2 对数变换

2.3.3 双对数变换

2.4 运用HIROTA方法求解(2+1)维破裂孤立子方程

第三章 WRONSKIAN技术

3.1 引言

3.2 WRONSKIAN行列式的定义

3.3 WRONSKIAN行列式的性质

3.4 运用WRONSKIAN技术求解(2+1)维破裂孤立子方程

第四章 行波法

4.1 行波法介绍

4.2 TANH—函数法的基本思想和步骤

4.3 运用推广的TANH—函数法求解WBK方程

4.4 ExP—函数法的基本思想和步骤

4.5 运用EXP—函数法求解WBK方程

第五章 总结

参考文献

致谢

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