具有混合非线性项的非线性Schrödinger方程径向解的整体适定性与散射

摘要

本文主要讨论一类具有混合非线性项的非线性Schr(o)dinger方程在径向情形的整体适定性、散射与爆破理论以及相应的逼近问题。本文的具体安排如下:
　　在绪论中，我们简单回顾了非线性Schr(o)dinger方程的研究背景和研究进程，并介绍了本文主要结论的研究背景及研究成果。
　　在第二章中，我们简单介绍了本文中所涉及到的Schr(o)dinger方程以及调和分析的的一些基本概念和结果。
　　在第三章中，我们研究具有混合非线性项的非线性Schr(o)dinger方程的径向解的整体适定性、散射与爆破理论。具体地说，我们对非线性项为质量临界非聚焦项加上质量超临界并且能量次临界或者临界的聚焦项的非线性Schr(o)dinger方程{i(e)tu+△u=|u|4/du-|u|p-1u,u(0)=u0∈H1（Rd），其中1+4/d＜p＜∞，d=1，2以及1+4/d＜p≤1+4/d-2，d=3，4在径向情形给出了当方程的初值u0的Lyapunov泛函在低于基态的Lyapunov泛函时的整体适定性与散射以及爆破的二分刻画。首先，通过变分估计，给出了基态，然后利用Lyapunov泛函的scaling导数(k)刻画整体适定性与散射以及爆破的集合。即在初值u0的Lyapunov泛函低于基态的Lyapunov泛函时，当(k)(u0)≥0时，方程的解整体存在并且散射;当(k)（u0）＜0时，方程的解在有限时间爆破。为了解决方程的整体适定性与散射，通过利用质量临界的profile分解，我们开发了一个新的能量空间中的profile分解，利用这个profile分解结合集中紧方法给出了方程的整体适定性与散射。对于爆破情形，利用virial恒等式可以证明方程的解在有限时间爆破。
　　在第四章中，我们讨论了方程的逼近问题。具体的，我们将会考虑如下Cauchy问题{ i(e)tuε+△uε=|uε|4/duε-ε|uε|p-1uε，uε(0)=ψε∈H1(Rd)，当ε趋向于0时的行为。我们证明了对于适当选取的径向对称初值ψε∈H1（Rd），如果在H1（Rd）中有ψE→ψ，那么在任意时间t∈R，方程的径向解uε(t)在H1(Rd)中收敛到以径向函数ψ为初值的质量临界非聚焦方程的解v，(t)。