量子系统的算符制备和状态转移及其收敛控制

摘要

在量子计算中，状态是携带信息的载体，量子逻辑门对信息进行处理。逻辑门是具有幺正性质的算符，因此状态和算符均是量子控制的研究对象。本论文重点研究了量子系统的算符制备，封闭量子系统的状态转移，以及随机量子系统的状态收敛控制。本研究主要内容包括：
　　⑴采用量子李雅普诺夫控制理论实现封闭量子系统从任意纯态到目标混合态的转移。整个状态转移只需要最多三步控制。第一步是从任意初始纯态转移到某一个本征态，系统模型采用薛定谔方程。第二步是将第一步控制得到的本征态作为初态，转移到非对角形式的目标混合态。在这一步中，借助一个辅助系统，克服了系统演化幺正的约束。如果目标态为一个对角形式的混合态，第二步的终态为与目标态纯度相同的一个非对角混合态。此时需要第三步控制，将第二步控制得到的非对角混合态作为初态，转移到目标混合态。后两步控制是对混合态的控制，采用刘维尔方程作为被控系统模型。三步控制中均使用李雅普诺夫方法设计控制律，并使用数值实验对所设计控制律的有效性进行了验证。
　　⑵对几何控制和棒棒控制在封闭量子系统的状态转移控制进行了性能对比研究。棒棒控制的控制律形式与控制律最大幅值M和能级E的大小关系有关。分M≥E和M＜E两种情况，对比研究了几何控制和棒棒控制驱动系统状态在Bloch球上由北极到相同目标点时的时间性能。研究了系统哈密顿量包含不确定性时系统的鲁棒性，分析了不同鲁棒性的原因，并在数值实验中验证分析结果。
　　⑶对封闭量子系统Hadamard门的制备进行了研究。Hadamard门不满足单一控制场可制备的酉旋转门的标准形式。为了使用单一控制场制备Hadamard门，将其分解成两个酉旋转门U1和U2。采用算符距离作为李雅普诺夫函数，分别设计了制备U1和U2的控制律Ω1和Ω2，通过顺次使用所设计的Ω1和Ω2来制备Hadamard门。对设计的控制律制备Hadamard门进行了数值实验，分析实验结果，并与最优控制进行了对比研究。
　　⑷采用量子李雅普诺夫控制方法对开放量子系统中的算符制备进行了研究。基于矩阵对数函数log(U+fU(t))的墨卡托级数，构造了李雅普诺夫函数V;分析了V和算符距离函数在数值精度方面和收敛速度方面的关系及优劣，并设计了两种制备算符的控制律。对设计的控制律制备封闭量子系统和开放量子系统的非门进行了数值实验;提出了在控制过程中结合使用这两种控制律的策略。研究了系统哈密顿量包含不确定性时的鲁棒性，提出了增强系统鲁棒性的控制律改进方法，并在数值实验中进行验证。
　　⑸分别研究了目标态为一个特殊本征态、任意本征态，以及混合态三种情况下的随机开放量子系统的全局收敛控制。在自由演化时，系统状态收敛到平衡点的任意一个。为使系统状态能够收敛到期望目标态，构造了包含状态距离的李雅普诺夫函数，设计了使系统状态在某个局部空间收敛到目标态的控制律。为使系统状态全局收敛，设计了常量控制和李雅普诺夫方法设计的控制律组成的开关控制。基于李雅普诺夫定理和拉塞尔不变集定理，证明了设计的开关控制的收敛性。对三维随机开放量子系统目标态分别为本征态和混合态的情况进行了数值实验，并分析了实验结果。

目录

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摘要

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表格目录

第1章 绪论

1．1 量子系统控制概述

1．1．1 量子系统状态控制的研究与发展

1．1．2 量子系统算符制备的研究现状

1．1．3 量子反馈控制的研究及发展

1．2 本论文的主要工作、创新点及结构安排

1．2．1 论文的主要工作

1．2．2 论文的创新点

1．2．3 论文的结构安排

第2章 背景知识介绍

2．1 量子力学基础

2．1．1 量子态与状态空间

2．1．2 力学量与算符

2．2 量子系统的数学模型

2．2．1 封闭量子系统的状态演化方程

2．2．2 开放量子系统主方程

2．2．3 量子随机主方程

2．3 数学基础与控制理论

2．3．1 李雅普诺夫稳定性

2．3．2 Ito引理及Ito乘积法则

第3章 封闭量子系统的状态转移

3．1 任意纯态到混合态的转移

3．1．1 任意纯态到本征态的转移

3．1．2 本征态到混合态的转移

3．1．3 混合态到目标混合态的转移

3．1．4 数值实验及结果分析

3．2 几何控制和棒棒控制的对比研究

3．2．1 封闭量子系统模型

3．2．2 两种控制方法的控制律

3．2．3 系统状态在Bloch球上从北极到任意点的对比研究

3．2．4 两种控制的鲁棒性分析

3．3 小结

第4章 量子系统算符的制备

4．1 封闭量子系统Hadamard门的制备

4．1．1 量子点单个电子的数学模型

4．1．2 Hadamard门的制备

4．1．3 制备Hadamard门的控制律设计

4．1．4 数值实验及结果分析

4．2 开放量子系统算符的制备

4．2．1 开放量子系统的数学模型

4．2．2 制备算符的控制律设计

4．2．3 鲁棒性分析

4．2．4 表征算符精度和特性的性能指标

4．2．5 数值实验及结果分析

4．3 小结

第5章 随机量子系统状态的收敛控制

5．1 随机量子系统的数学模型

5．2 特殊本征态的收敛控制

5．2．1 特殊本征态的控制律设计

5．2．2 特殊本征态的收敛性证明

5．2．3 数值实验及结果分析

5．3 任意本征态的收敛控制

5．3．1 任意本征态的控制律设计

5．3．2 任意本征态的收敛性证明

5．3．3 数值实验及结果分析

5．4 混合态的收敛控制

5．4．1 混合态的控制律设计

5．4．2 混合态的收敛性证明

5．4．3 数值实验及结果分析

5．5 小结

第6章 总结与展望

6．1 论文主要工作总结

6．2 研究展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的论文及参加的项目