插值曲率线与特征线的B样条曲面构造

摘要

给定三维曲线网格（线框模型），构造插值该网格的曲面是几何建模中的一个基本的问题。另外，曲率线是曲面上一类很重要的曲线，可以指导曲面分析，广泛地应用于几何设计、形状识别以及曲面绘制等领域，是曲面的一种内在的几何特征，具有良好的几何特性。本文基于插值线框模型的曲面构造这一基本问题，将带有良好性质的曲率线运用到该问题中，提出了插值曲率线与特征线的B样条曲面构造方法。利用该方法生成的曲面不仅具有高阶光滑性，而且该方法又是局部构造的。在具体地实施时，不需要进行附加的拼接操作，攻克了传统的几何建模技术在进行各个曲面片间的拼接时，巨大的计算复杂度和内存存储以及难以准确地保证曲面光滑性的难题。
　　本文第二章首先介绍了B样条曲线曲面、B样条函数乘积，曲面G1连续拼接以及曲率线的相关理论知识，为后续的研究工作提供理论的支持。不过曲面的曲率线的计算是求解非线性微分方程，过程复杂且计算量大，因此借助Weingarten映射给出了B样条曲面的曲率线条件，该条件仅仅是关于曲面基本型的关系式，避免了非线性微分方程的复杂求解过程。
　　第三章给出了插值线框模型的曲面构造的新方法:插值曲率线与特征线的B样条曲面构造，是一种局部构造格式的方法。该方法首先对输入的三维线框模型进行B样条曲线拟合，获得需要的边界曲线网。然后，修正边界曲线网，确定所有的约束条件，包括顶点G1连续拼接条件、边G1连续拼接条件以及插值曲率线条件，并将其转换为相应的B样条曲面的控制顶点约束。最后，对每个面片通过求解带约束的薄板样条能量模型得到最终的曲面。基于上述过程最终将插值线框模型的曲面构造问题转化为一个求解带约束条件的二次规划问题。
　　最后，在第四章对文中的研究工作做了一个总结，同时指出了文中新方法的优势以及存在的缺陷，并对未来的工作做了展望。

目录

声明

摘要

表格索引

插图索引

List of Algorithms

第一章 绪论

1．1 课题研究背景及意义

1．2 课题研究现状

1．2．1 曲率线

1．2．2 插值3D线框模型的曲面构造

1．3 本文内容以及结构安排

第二章 预备知识

2．1 B样条曲线及曲面

2．1．1 B样条曲线

2．1．2 B样条曲面

2．2 B样条函数乘积

2．2．1 预备知识与记号

2．2．2 两个B样条函数乘积的Marsden恒等式

2．2．3 两个B样条函数乘积的显示表示

2．3 曲率线条件

2．4 B样条曲面G1连续拼接条件

2．5 本章小结

第三章 插值曲率线与特征线的B样条曲面构造

3．1 插值曲率线与特征线的B样条曲面构造算法

3．1．1 B样条曲线拟合

3．1．2 修正B样条边界曲线网

3．1．3 曲率线与G1连续拼接约束条件

3．1．4 插值曲率线与特征线的B样条曲面的构造算法

3．2 实验结果及讨论

3．2．1 参数选取

3．2．2 实验结果

3．2．3 运行时间

3．3 本章小结

第四章 总结与展望

4．1 本文内容总结

4．2 未来工作展望

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果