闭凸锥上线性约束矩阵不等式的最小二乘问题研究

摘要

线性约束矩阵不等式问题是求解满足给定线性矩阵不等式和约束要求的结构矩阵，该问题来源于矩阵优化、放射治疗的逆问题以及图像重构等众多科学与工程领域，但在众多实际应用中，线性约束矩阵不等式问题的给定数据通常存在测量或观测误差，因此相应的线性约束矩阵不等式问题可能是不相容的，即在给定约束集合上不存在满足相应线性矩阵不等式的解，为此有必要给出不相容线性约束矩阵不等式问题的最小二乘模型，并研究相应最小二乘问题的理论与算法.　　线性约束矩阵不等式的最小二乘问题类似于典型的线性最小二乘问题，其目标函数是一个凸函数，而且目标函数的梯度为全局Lipschitz连续的，因此当相应约束集合为闭凸集时，该问题的约束最小二乘解存在，但与典型的线性最小二乘问题不同的是这类问题的目标函数的二阶Jacobi矩阵是不存在的，而且在图像重构等实际应用中还要求未知矩阵具有对称或双对称等特殊结构，因此直接运用求解典型的线性不等式最小二乘问题的数值方法来求解该类特殊的矩阵最小二乘问题是行不通的，另一方面，目前关于线性矩阵不等式及其最小二乘问题的研究成果主要包括无约束和子空间约束下的最小二乘问题理论与算法，但在放射治疗的逆问题以及图象重构等实际应用中需要未知矩阵是非负的，因此在现有理论和算法的基础上需要进一步研究闭凸锥约束下的线性矩阵不等式及其最小二乘问题．　　本硕士论文将系统研究一般闭凸锥约束下的矩阵不等式及其最小二乘问题的理论和数值求解方法，给出求解该类问题的理论和一般算法框架．本文首先利用闭凸集上的最佳逼近定理和Hilbert空间中的极分解定理讨论该类问题在一般闭凸锥上的最小二乘解的特征，然后利用现有算法的思想，提出求解该类约束矩阵不等式最小二乘问题的矩阵迭代算法框架，并讨论该算法框架的收敛性理论．在此基础上，本文将一般闭凸锥上该约束矩阵最小二乘问题的重要理论和迭代算法框架应用于解决具有非负对称结构约束的矩阵最小二乘问题，该算法中的关键是解决一类经典的约束最小二乘的子问题，本文采用求解凸约束下光滑函数最小值问题的谱投影梯度方法求解该子问题，并提出一个可计算的算法步骤，在本文的最后，将使用数值示例来验证理论结果的准确性和数值算法的有效性.

目录

声明

第1章绪论

1.1研究背景和意义

1.2本文研究的主要工作及创新点

1.3本文常用的符号

第2章 预备知识

2.2闭凸锥的基本性质和理论

2.3线性不等式组的理论和算法

2.4线性矩阵不等式的最小二乘问题

第3章 一般闭凸锥上的约束矩阵不等式问题

3.2 问题1解的特征

3.3求问题1的算法框架

第4章 一类约束矩阵不等式及其最小二乘问题

4.2对称矩阵约束最小二乘问题

4.3非负矩阵约束最小二乘问题

4.4对称非负矩阵约束最小二乘问题

结论

参考文献

附录A攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢