退化椭圆型Monge-Ampere方程解的存在性以及正则性研究

摘要

本文主要研究在欧氏空间中严格凸区域的边界上退化的Monge-Amp(e)re方程的齐次Dirichlet问题的解的存在性与正则性问题.在区域的形状不同,以及区域所在的空间的维数不同的多种情形里,本文讨论了Monge-Amp(e)re方程的特征值问题和一般退化Monge-Amp(e)re方程解的存在性和正则性.　　 本文利用一些常微分方程以及分析的技巧证明了球状区域上的一大类Monge-Amp(e)re方程的特征值问题的对应非平凡全局C2解的特征值的存在性,然后进一步证明了该解是全局光滑的.　　 本文还通过Legendre变换以及高维情形的Legendre变换将边界附近的Monge-Amp(e)re方程转变成相应的拟线性方程或是拟线性方程组,进而通过解的算子形式的表示与分解,以及相应的解算子的正则性估计,证明了在二维空间内,一般严格凸区域上的边界处任意有限阶退化的Monge-Amp(e)re方程的全局C2解一定也是全局光滑的,而高维区域内一般严格凸区域上边界处退化阶数为1的Monge-Amp(e)re方程的全局C2解是光滑到边界的,退化阶数为2的Monge-Ampere方程的全局C2,α解也是光滑到边界的.　　 另外,本文还对于小扰动下的退化Monge-Amp(e)re方程作了研究,在得到相应的Sobolev空间中的估计之后,利用Nash-Moser迭代的思想,证明了二维区域上的方程在小扰动下,解仍然存在且能维持原本的光滑性.