基于Lebesgue常数最小的重心有理Hermite插值

摘要

从古代到信息通信时代的今天，无论是用于天文学还是应用于信号和图像处理，插值总是广泛应用于许多技术领域。Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值是几种最常见的多项式插值，但由于高次多项式可能产生的Runge现象，使得多项式插值的应用受到限制。在插值节点较多时，选择比多项式更灵活，逼近效果更好的有理插值，但有理插值有难以避免极点和不可达点等缺陷。在有理插值的基础上，对有理插值的分子和分母的次数放宽限制，在一定条件下构造的重心有理Hermite插值，不仅可以避免极点和不可达点，而且还有良好的数值稳定性。选取插值权的方法有很多，不同的插值权，会得到不同的重心有理Hermite插值函数。本文基于重心有理Hermite插值方法，构造了一元重心有理Hermite插值的Lebesgue常数，介绍了基于Lebesgue常数最小的一元重心有理Hermite插值方法。具体来说，是以一元重心有理Hermite插值的Lebesgue常数最小为目标函数，插值节点处的权为决策变量，同时重心有理Hermite插值要满足插值条件、无极点及无不可达点等，建立优化模型，然后求解优化模型得到最优插值权。在此基础上，加入保单调、奇偶、渐近线等约束条件，进一步研究一元保形重心有理Hermite插值。最后，本文还研究了基于Lebesgue常数最小的二元重心有理Hermite插值方法，并且通过数值例子证明新方法的有效性。

目录

声明

摘要

1 引言

1．1 研究背景

1．2 本文的主要内容

2 一元重心有理Hermite插值

2．1 Lagrange插值和Newton插值

2．2 一元重心有理Hermite插值

2．2．1 一元重心有理插值

2．2．2 一元重心有理Hermite插值

2．2．3 一元重心有理Hermite插值的性质

2．3 小结

3 基于Lebesgue常数最小的一元重心有理Hermite插值方法

3．1 基本思想

3．1．1 Lebesgue常数的定义

3．1．2 基本思想

3．2 优化模型

3．3 数值例子

3．4 小结

4 基于Lebesgue常数最小的一元保形重心有理Hermite插值

4．1 保单调性的一元重心有理Hermite插值

4．1．1 基本思想

4．1．2 优化模型

4．1．3 数值例子

4．2 保正的一元重心有理Hermite插值

4．2．1 基本思想

4．2．2 数值例子

4．3 保渐近线的一元重心有理Hermite插值

4．3．1 基本思想

4．3．2 数值例子

4．4 保奇偶性的一元重心有理Hermite插值

4．4．1 基本思想

4．4．2 数值例子

4．5 小结

5 基于Lebesgue常数最小的二元重心有理Hermite插值

5．1 二元重心有理Hermite插值

5．1．1 二元重心有理Hermite插值的构造

5．1．2 二元重心有理Hermite插值的性质

5．2 基于Lebesgue常数最小的二元重心有理Hermite插值

5．2．1 基本思想

5．2．2 优化模型

5．2．3 数值例子

5．3 小结

总结和展望

参考文献

致谢

作者简介及读研期间主要科研成果