若干随机序列的极限定理及条件弱鞅的不等式

摘要

概率论是从数量上研究随机现象规律性的学科，理论严谨，应用广泛，发展迅速.概率极限理论是概率论的重要分支之一，是概率论其他分支和数理统计的非常重要的理论基础.强大数律和弱大数律是概率极限理论中的两个重要的研究内容.本文主要致力于研究几类随机变量序列的极限定理，如强大数律和弱大数律.
　　本文第二章研究了鞅差序列最大部分和的完全收敛性和完全矩收敛性，进而获得鞅差序列的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数律的收敛速度.这些结果包含了Baum-Katz型定理和Hsu-Robbins型定理作为特殊情形，将Stocia(2007，2011)部分和的结果推广到最大部分和的情形并且扩展了参数的范围.此外，我们也讨论了鞅差序列随机加权和的完全矩收敛性，将非随机权推广到随机权的情形，同时获得了鞅差序列随机加权和的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数律.
　　本文第三章讨论了AANA随机变量阵列加权和的完全收敛性，这些结果完善和改进了Baek et al.(2008)相应的结果.此外，我们在较广参数范围和较弱矩条件下获得了AANA随机变量阵列加权和的完全矩收敛性，作为应用，在较广参数范围和较弱矩条件下，AANA随机变量阵列的Baum-Katz型结果以及AANA随机变量序列的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数律被获得.
　　本文第四章给出了一类一致可积的概念，并在此一致可积的条件下讨论了鞅差阵列，两两m-相依随机变量阵列和NOD随机变量阵列的矩收敛和弱大数律，推广和改进了Sung et al.(2008)的相应结果.作为应用，我们建立了误差满足此类一致可积条件下非参数回归模型回归函数估计量的矩相合性.
　　本文第五章给出了一类随机变量阵列的条件一致可积的概念，并在此一致可积条件下建立了几类条件相依随机变量阵列的条件矩收敛，这些结果推广和改进了Ordó(n)ez Cabrera& Volodin(2005)和Chandra& Goswami(2006)相应的结果，推广了Ordó(n)ez Cabrera et al.(2012)的结果.
　　本文最后一章建立了条件弱鞅和条件弱鞅函数的一些不等式，如最大值不等式、最小值不等式、Doob型不等式.利用条件期望的Fubini公式和条件弱鞅的不等式，得到了非负条件弱鞅的最大φ-不等式以及基于凹的Young函数的条件弱鞅的最大值不等式.作为应用，条件PA随机变量序列的强大数律被获得.

目录

声明

摘要

主要符号对照表

第一章 绪论

第二章 鞅差序列的强大数律和完全矩收敛性

2．1 预备知识

2．2 引理

2．3 鞅差序列强大数律的收敛速度

2．4 鞅差序列随机加权和的完全矩收敛性

第三章 AANA随机变量阵列加权和的完全收敛性

3．1 预备知识

3．2 引理

3．3 AANA随机变量阵列加权和的完全收敛性

3．4 AANA随机变量阵列加权和的完全收敛性的进一步探讨

第四章 相依随机变量阵列的弱大数律

4．1 背景知识

4．2 引理

4．3 相依随机变量阵列的弱大数律

4．3．1 鞅差阵列的弱大数律

4．3．2 两两m相依随机阵列的弱大数律

4．3．3 NOD随机变量阵列的弱大数律

4．4 一个应用

第五章 可积条件下条件相依随机变量的条件矩收敛定理

5．1 背景知识

5．1．1 定义

5．1．2 例子

5．2 一些可积的概念

5．3 主要结果及其证明

第六章 (f)-弱(下)鞅的一些不等式

6．1 背景知识

6．2 几个重要的引理

6．3 (f)-弱(下)鞅的一些不等式及其应用

6．3．1 (f)-弱(下)鞅的一些不等式

6．3．2 (f)-PA随机变量序列的强大数律

6．4 非负条件弱鞅的最大φ-不等式

6．5 基于凹函数的条件弱鞅的最大值不等式

参考文献

致谢

攻读博士期间论文发表和待发表的情况