关于一类平面三次系统极限环分支问题的研究

摘要

关于奇点与极限环的存在性和稳定性研究在平面微分系统的定性理论中有着重要的意义.对于给定的平面微分系统，通过研究该系统奇点以及极限环的位置分布，可以分析出平面上轨线的性态分布.对于含参数平面微分系统，当系统中某一参数发生微小的变动时，系统轨线的稳定性可能会随着参数的变化，发生本质的变化，这是微分系统的定性结构与分支理论研究的主要内容. 分支问题是微分方程定性理论的重要研究方向之一，关于平面二次系统分支问题的研究有许多好的定理，平面三次系统极限环分支的研究有一些基础性的成果.对于极限环分支问题的研究，许多学者专家如张锦炎，叶彦谦等也给出了大量的结论.1999年，Chavarriga研究了一类平面三次微分系统极限环分支的新类型等问题，对系统内平衡点类型根据参数的变化进行了详细的讨论，得出了系统内极限环与两个中心同时存在的条件.在此研究基础上，本论文对另一类平面三次系统极限环分支问题进行了研究，将极限环的分支问题推广到更一般的平面三次系统，所得出的结论同样适用Chavarriga研究的系统. 文章主要做了三个方面的工作，首先通过计算找出系统的奇点，并分析了奇点的类型.其次通过构造首次积分，研究了系统轨线的定性结构.再者通过对系统内参数符号的讨论，分析了极限环与奇点之间的关系，指出了此系统极限环分支的新类型，这种类型包括了Chavarriga所研究的全部结果.同时，文章也进一步研究了系统的Hopf分支问题.