两个素数的平方与一个素数k次方之和的例外集问题

摘要

Waring-Goldbach问题是堆垒数论中的经典问题.1938年，Hua在[6]中证明了几乎所有满足必要同余条件的正整数n都可以表示成n=p21+p22+pk3，(0.1)其中k≥2，pi为素数.用Ak表示满足必要同余条件的这种正整数n的集合.以Ek(N)表示Ak中所有不超过N且不能表示成(0.1)形式的正整数的个数，Hua[6]证明了存在A＞0，使得Ek(N)(《)NL-A.(0.2)之后，Schwarz[16]改进了以上结果，证明了(0.2)对任意的A＞0都成立.1993年，Leung和Liu[13]考虑了方程n=a1p21+a2p22+a3pk3的可解性，其中a1，a2，a3是互素的正整数，证明了存在ε（k）＞0使得此问题对应的例外集为O(N1-ε(k)).2014年，Lü和Tang[9]对Hua的一些问题研究了素变量取值在小区间上的情况，证明了(0.1)式在pi属于某个小区间时，Hua的结论仍然成立.本文主要是在Hua[6]和Leung和Liu[13]的工作基础上研究(0.1)式在k≥3时的例外集问题，我们得到的主要结果为Ek(N)(《)N1-δ(k)+ε，其中δ(k)={1/20若k=3，1/k2k-1若k≥4.
　　本文的证明方法是圆法，在证明过程中用了新的指数和估计的结果，并借鉴了Zhao[18]中处理余区间的新想法.
　　本文共分为四个部分.第一部分简单地介绍了本文的研究背景及主要结果，第二部分介绍了定理的证明思路.本文第三部分是对主区间上的积分进行处理，其中我们主要应用了Liu和Zhan在[11]中提出的扩大主区间的方法.第四部分是对余区间上的积分进行估计.

目录

声明

摘要

符号说明

第一节 研究背景与研究结果

第二节 定理证明的思路

第三节 主区间的处理

3．1 相关引理

3．2 命题2．1的证明

3．3 命题2．2的证明

第四节 余区间的处理

参考文献

致谢