空间分数阶扩散方程的预条件快速数值法及对流扩散方程的一致估计

摘要

Fokker-Planck方程(FPE)是描述小颗粒在随机内力作用下，其运动的概率密度函数的偏微分方程。如布朗运动的概率密度函数满足经典的扩散方程[6，28，42]。令α为Fokker-Planck方程的阶，当α=2时，得到的FPE为经典的二阶对流扩散方程(ADE)。但是小颗粒在地表含水层的运动往往与布朗运动存在很大的偏差，一般不能用经典的对流扩散方程来刻画，但是可由分数阶对流扩散方程来描述[25，31，32，43].
　　由于分数阶微积分算子的非局部性，分数阶对流扩散方程的数值方法产生的刚度矩阵为满阵或稠密矩阵。传统的求解方法在每个时间步上需要O(N3)的计算量和O(N2)的存储量，N为网格点数。如此大的计算量对于求解高维空间分数阶问题是难以承受的。Meerschaert和Tadjeran[29，30]给出了一类分数阶有限差分方法的数值格式。他们用平移的Grunwald-Letnikov有限差分格式逼近分数阶导数，并证明了这类平移的有限差分方法的显格式是无条件稳定的，具有一阶收敛精度。Wang等人[53，54]给出了一类Dirichlet边界条件的分数阶扩散方程的有限差分法的快速算法。通过将其刚度矩阵分裂成多个对角矩阵与Toeplitz矩阵乘积的加和，从而得到刚度矩阵与向量相乘的快速算法。当用Krylov subspace迭代法求解时，在保证与传统的数值方法有相同精度的前提下，每次迭代所需的计算量由原来的O(N2)降低为O(NlogN)，存储量由原来的O(N2)降低为O(Ⅳ)。同样由于分数阶微积分算子的非局部性，当边界条件为分数阶导数边界条件时，边界分数阶导数的差分格式与整个区域内的所有点相关，从而得到的刚度矩阵结构与Dirichlet边界条件时的矩阵结构有很大不同。Wang和Du[50]给出了一类稳态空间分数阶扩散方程有限体积法的预条件快速算法。在一致剖分条件下，每次迭代所需的计算量从原来的O(N2)减少为O(NlogN)，存储量由O(N2)降低为O(N)，并且其预条件方法非常有效的降低了迭代次数.近来发现[22，55，56]，尽管对于非常光滑的扩散系数和右端项，分数阶扩散方程的精确解仍有可能存在边界层(layers)。对于这类问题的数值方法，用一致剖分网格求解边界层问题时并不能得到较为精确的数值解，此时局部加密网格是我们首先要考虑的。并且考虑如下因素:
　　有限差分法是非守恒型的
　　有限差分法具有一阶收敛阶
　　有限差分格式是定义在一致网格上的
　　有限体积法是守恒型的
　　有限体积法是二阶收敛的
　　有限体积法适用于不一致网格
　　在很多应用中，守恒性是非常必要的。因此我们考虑用有限体积法求解局部加密网格的分数阶微分方程。但由于分数阶微积分算子的非局部性，任何局部网格的轻微改变都会影响刚度矩阵的整体结构，因此我们需要尤其注意矩阵的结构和算法的适用性。
　　[24，45，48，51，58]中证明了非退化的时间-空间对流扩散方程Galerkin有限元法的最优误差估计。这类估计的优点是适用于任何正则性网格。其证明过程借助Ritz投影。由于Ritz投影的估计式依赖于Peclet系数，因此得到的误差估计依赖扩散系数的下界。对于退化的对流扩散方程，扩散系数的下界为0，从而上述估计将不再适用。
　　本文我们主要介绍以下两方面的内容:空间分数阶扩散方程的预条件快速算法，以及退化的对流扩散方程的一致最优误差估计。本文结构如下:第一章简单介绍了对流扩散方程的模型和基本推导过程，包括经典的对流扩散方程和分数阶对流扩散方程。第二章给出了一些预备知识。第三章介绍了分数阶导数边界条件的分数阶扩散方程有限差分法的预条件快速算法。第四章介绍了分数阶扩散方程局部加密有限体积法的预条件快速算法。第五章介绍了二维分数阶扩散方程在一致三角剖分网格上有限体积法的预条件快速算法。第六章证明了二维退化的对流扩散方程双线性Galerkin有限元法的一致最优误差估计。第七章证明了退化的对流扩散方程有限差分法的一致最优误差估计。

目录

声明

摘要

第一章 对流扩散方程的模型

第二章 预备知识

§2．1 Krylov subspace算法及其预条件算法

§2．1．1 CGS算法

§2．1．2 预条件的CGS算法

§2．2 Toeplitz矩阵

§2．3 循环矩阵预条件

§2．3．1 Strang’s预条件矩阵

§2．3．2 T．Chan’s预条件矩阵

第三章 分数阶扩散方程导数边界条件的有限差分方法

§3．1 稳态问题的分数阶方程及其有限差分方法

§3．2 依赖时间的空间分数阶扩散方程

§3．3 刚度矩阵的性质，结构以及存储

§3．4 预条件快速Krylov subspace算法

§3．5 高阶格式

§3．6 数值算例

§3．6．1 稳态问题

§3．6．2 依赖时间的问题

第四章 分数阶扩散分方程局部加密的有限体积预条件快速算法

§4．1 分数阶扩散方程单边问题的有限体积法

§4．1．1 单边问题刚度矩阵的结构、存储算法及其快速算法

§4．1．2 矩阵向量相乘的快速算法

§4．1．3 几何剖分网格与一致网格的比较

§4．2 局部加密网格的有限体积算法

§4．3 刚度矩阵结构

§4．3．1 刚度矩阵表达式

§4．3．2 刚厦矩阵结构分析

§4．4 快速Krylov subspace及其存储算法

§4．5 预条件矩阵

§4．6 数值算例

§4．6．1 单边空间分数阶扩散方程

§4．6．2 双边分数阶扩散方程数值算例

§4．6．3 矩阵近似的影响

§4．7 一般情况的扩展

第五章 二维分数阶扩散方程的三角剖分有限体积快速算法

§5．1 二维分数阶方程及其有限体积算法

§5．2 矩阵Ax的结构及其有效存储

§5．3 矩阵Ay的结构及存储

§5．4 矩阵向量乘法Au的快速算法

§5．5 预条件Krylov subspace迭代算法

§5．6 数值算例

第六章 退化的对流扩散方程双线性有限元法的最优误差估计

§6．1 问题模型

§6．2 弱形式

§6．3 Galerkin方法的最优误差估计

§6．4 数值算例

第七章 退化的对流扩散方程有限差分法最优误差估计

§7．1 方程模型及有限差分方法

§7．2 隐式欧拉有限差分法的误差估计

§7．3 Crank-Nicolson有限差分法的最优误差估计

§7．4 辅助引理

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

作者简介