Gel'fand三元组上的Lévy白噪声和分数Lévy噪声

摘要

分数Brown运动的长相依，自相似性质使得它在金融，经济，网络通讯等领域有着广泛的应用，引起了人们的广泛关注。分数Brown运动可表不为由Riemarm-Liouville分数积分算子确定的Volterra型核函数关于布朗运动的积分，借助此积分核函数关于0均值平方可枳L(e)vy过程的积分可以构造更一般的分数L(e)vy过程，因而大大推广了分数过程的应用范围。
　　 另一方面，由分数噪声驱动的偏微分方程的研究，需要构造无穷维向量空问上的分数过程，但是，迄今为止，只限于Hilbert空间上由分数Brown运动驱动的随机发展方程的研究。我们知道，取值于Hilbert空间V上的分数Brown运动存在的必要充分条件是它的协方差算子为核算子，否则，它将取值于一个更大的Hilbert空间发V1使得V连续稠密的嵌入V1且嵌入映射为Hilbert Sclmddt的。很自然地，我们考虑取值于可列Hilbert核空间的对偶空间上的分数过程，最合适的空间结构就是Gdl fand三元组。
　　 令H为实可分Hilbert空间，｜·｜和(·，·)分别为其上的范数和内枳。A为H上止的自伴算子，且存在α>0使得A-α为核算子。对（Ar）协∈R，定义｜·｜r：=｜Ar0，令Er为Ar的定义域关于｜·｜r的完备化，则Er为实可分Hilbert空间，Er和E-r互为对偶空间。令E为{Er}r≥0的投影极限，E*为{E-r}r≥0的归纳极限，则E为可列Hilbert核空问且E*为其对偶。记(·，·)为E*×E上的典则双线性型，￡+≡￡+(E，E*)为E到E*上的止的连续线性算子，E（C）H（C）E*称为由(H，A)生成实Gel'fand三元组。本文采用这样的三元组作为基本框架是因为：
　　 1°它包含了常见的许多无穷维向量空间，如Schwartz缓增广义函数空间、Hida白噪声广义泛函空间等，也足有限维欧氏空间的自然推广；
　　 2°其榜空问结构使我们可以灵活地使用拓扑张量枳、Boclmer Minlos定理、Schwartz核定理、It(o)止则化定理等，克服构造中的一系列困难。
　　 以下足本文的几个主要结论：
　　 结论一:令E（C）H（C）E*为由(H，A)生成实Gel’fand三元组,对于给定。Α∈E*，Q∈￡+和E*上的测度v，其中v的支撑为E-p且满足Q∫E*(｜X｜2-Pλ1)dv(x)<∞。
　　 则存在q>0和E*上的无穷可分分布μ，使得我们称(α，Q，v)为μ的生成三元组，v为L(e)vy测度。
　　 这样，我们得到了E*上最一般的无穷可分分布特征泛函的表达式，特别地，我们构造了E*上的稳定分布。然后，我们定义了E*-值的L(e)vy过程，并给出其L(e)vy-It(o)分解。利用再生核Hilbert空间技巧，我们构造了一类特殊的算子值过程关于平方可积的L(e)vy过程的随机积分。
　　 结论二:基于E*上无穷可分分布特征泛函的表达式，我们定义了E*-值的L(e)Vy白噪声。设X={Xt，t∈R}为(α，Q，v)生成的E*-值L(e)vy过程，其中α∈E*，Q∈￡+，L(e)vy测度v满足∫｜∞｜-p＞1｜X｜-pdv(x)<∞。X1的特征指数Ψ由结论一给出。则对(V)f∈L1(R)∩L2(R)X(f)-∫∞-∞f(s)Dx(s)为E*-值RV使得则{X(f)，f∈S(R)为E*-值缓增白噪声，我们称其为E*-值的L(e)vy白噪声。
　　 结论三:以及Rielnarm Liouville分数积分算子Iβ-的连续性，我们构造了一个新的E*-值(缓增)广义过程作为E*-值的L(e)vy白噪声的泛函，称为E*-值的分数L(e)vy噪声。在结论二的条件下，定义则{Xβ(f)，f∈S(R)为E*-值(缓增)广义过程(我们称为E*-值β-分数(e)vy噪声)。而且，特别地，对不性函数f=1[0,t]，只要下面积分存在，我们就可以定义如下的E*-值β分数L(e)vy过程{Xβt，t≥0}：
　　 结论四:特别地，当E*-值的L(e)vy过程X平方可积时，作为缓增的L(e)vy白噪声的泛函，我们研究了E*-值的分数L&y过程{Xβt:=Xβ(1[0,t],t≥0}的样本轨道性质和分布陛质，证明了分数L(e)vy过程具有平稳增量性，长相依性质，对一类特殊的算子值过程讨论关十分数L(e)vy过程的随机积分，给出分数L(e)vy过程的新息表示。并将E*-值分数L(e)vy过程作了推广，定义了组合分数L(e)vy过程和多分数L(e)vy过程。
　　 结论五:上述方法和结论可特别方便地推广到多维时间参数情形，在E*-上无穷可分分布的一阶矩存在的条件下，我们构造了E*-值L(e)vy随机场。并利用Pdesz位势，Pdesz多重位势以及多变量型的Pdernarm Liouville分数积分贷子，构造了Gel’fand三元组上各向同性分数L(e)vy随机场，各向异性分数L(e)vy随机场以及多参数分数L(e)vy过程，并分别研究了它们的性质(Euclid不变性，长相依性，自相似性，平稳增量性等)。