基于耦合连续时间随机行走模型和从属方法的反常扩散过程及其分数阶动力方程

摘要

最近一些年，反常扩散现象已经引起了许多研究人员的兴趣。研究反常扩散过程的模型有三类，连续时间随机行走模型是其中最直观、应用最广泛的一类模型。本文基于连续时间随机行走理论，从两个不同的角度：广义主方程方法和从属方法，研究了反常扩散过程的统计特征。由于连续时间随机行走模型不能直接包含外力场，而分数阶方程容易做到，因此，讨论连续时间随机行走过程的概率密度的分数阶发展方程也是一个热点话题。这里，我们也做了相应的讨论。具体工作如下：
　　在第三章，基于广义主方程描述连续时间随机行走的Montroll-Weiss方程，我们首先介绍了解耦的连续时间随机行走过程的概率密度依赖于等待时间概率密度的发展方程；然后，讨论了跳跃长度依赖于等待时间的耦合的连续时间随机行走模型，通过对等待时间概率密度和跳跃长度条件概率密度进行合适的设置，得到了当尺度越来越小时跳跃概率密度在 Fourier-Laplace域中的渐近式；最后，根据跳跃概率密度在 Fourier-Laplace域中的渐近式和等待时间概率密度在 Laplace域中的渐近式，利用 Montroll-Weiss方程，得到了耦合的连续时间随机行走的概率密度在Fourier-Laplace域中的代数表示式，通过合适的变形并取Fourier-Laplace逆变换，得到了概率密度在空间时间域中相应的分数阶扩散方程，并通过对均方位移的计算，得到了基于该模型的反常扩散行为。
　　在第四章，类似于第三章的讨论，我们考虑了一类特殊的随机行走过程：定向的耦合连续时间随机行走。这时，Montroll-Weiss方程中的跳跃概率密度的Fourier-Laplace变换相应的改变为Laplace-Laplace变换。通过将跳跃长度条件概率密度设置为等待时间的正值函数(本文取为 Diracδ?函数)和等待时间概率密度设置为具有长尾分布，得到了该模型的概率密度所满足的组合分数阶漂移方程。
　　在第五章，基于从属理论，我们将连续时间随机行走过程分解为两个过程：离散时间随机行走过程和计数过程，即添加了一个中间变量：步数。由于反常扩散过程是连续时间随机行走过程的极限过程，因此，当以正的连续随机变量替换中间变量步数时，即可得反常扩散过程的概率密度的从属表示形式。这里，中间随机变量被称为随机时间过程。本章我们介绍了三种形式的随机时间过程和它们的性质，这三种形式有共同的结构：由时间变量的正幂函数和α?稳定的随机变量的负幂函数的乘积构成。并讨论了基于这三种形式的随机时间的反常扩散过程的统计特征和其概率密度所满足的分数阶Fokker-Planck型方程。

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第一章 绪论

§1.1 引言

§1.2 本文的工作

第二章 预备知识

§2.1 积分变换

§2.2 特殊函数

§2.3 分数阶微积分介绍

§2.4 分数阶扩散方程介绍

第三章 基于耦合的CTRW模型的反常扩散及其空间时间分数阶扩散方程

§3.1 CTRW模型介绍

§3.2 从CTRW模型到广义Kolmogorov-Feller方程

§3.3 耦合的CTRW模型中跳跃概率密度的渐近式

§3.4 从耦合的CTRW模型到空间时间分数阶扩散方程

§3.5 本章小结

第四章 基于耦合的定向CTRW模型的反常扩散及其空间时间分数阶动力方程

§4.1 介绍

§4.2 定向的耦合CTRW模型的极限分布和分数阶动力方程

§4.3 本章小结

第五章 基于从属方法的反常扩散及其分数阶Fokker-Planck-Typ e方程

§5.1 介绍

§5.2 自相似的随机时间过程与反常次扩散

§5.3 随机时间为s(t)=tαZ?α的反常扩散过程

§5.4 具有随机时间为s(t)=tβZ?α的反常扩散过程

§5.5 具有随机时间为s(t)=tβZ?β的反常扩散过程

§5.6 本章小结

参考文献

致谢

附录