直接微扰方法和非线性薛定谔方程族的近似解

摘要

孤子理论是非线性科学中一个十分重要的分支，它在物理学和其它的许多领域中有着越来越广泛的应用。而微扰理论作为孤子理论中的一个重要方面，关于它的研究也日益引起人们的关注。到目前为止，人们已经发展了多种有效的微扰方法，它们大体可分为两大类：一类是逆散射微扰方法。它能成功地处理各种复杂的微扰问题，在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算繁琐。另一种是直接微扰方法。它的最常用的系统方法是将孤子方程线性化后再按Jost函数的平方作微扰展开。由于Jost解是逆散射变换(IST)过程中所出现的一种特解，所以这种微扰方法并没有完全脱离对IST的依赖，与其仍有或多或少的关联。而且关于直接微扰法的含时、空的偏微分算子的本征函数系，前人并没有找到直接求解它的方法，都是利用它与IST间的某种联系来求得的。最近，在前人的基础上发展了一种新的直接微扰方法，它完全摆脱了对IST的依赖，思路和计算较为简便。而且利用这种直接微扰方法得到的微扰解比用其他微扰方法得到的解要丰富得多。 本文就直接微扰方法作了较为全面、系统的研究，主要工作内容如下：1.从可积的非线性薛定谔方程入手，将利用直接微扰方法得到的近似解与其精确解进行了对比、分析，验证了直接微扰方法的可靠性。微扰小参量ε越小，相应的近似解与精确解越符合，此时，直接微扰方法给出的微扰方程的近似解也就越可靠。2.以不同的微扰非线性薛定谔方程为实际例子，例如，耦合非线性薛定谔方程、(2+1)维非线性薛定谔方程，来阐述直接微扰方法的具体运用和适用性。通常，针对微扰非线性薛定谔方程的不同形式的解需要采用不同的微扰方法对其进行分别处理，但是，从本文的求解过程中发现，采用楼的直接微扰方法可以得到多种不同形式的微扰解。而且微扰方程的零阶解可以为无微扰非线性薛定谔方程的任意一个精确解，它们的一阶修正则可以是无微扰方程的无穷多个对称的任意一个。借助符号处理软件Matlab，我们还实现了受线性损耗影响的耦合非线性薛定谔方程的数值模拟，结果表明，在ε值的较大范围内，近似的解析解与数值解吻合得非常好。另一方面，非线性薛定谔方程族的近似求解的实现也为楼所发展的直接微扰方法提供了几个重要的实例，使直接微扰方法得到进一步的完善和充实。3.基于直接微扰方法给出的可靠的近似解，我们还给出在微扰作用下孤子的各个参数的解析表达式。无论是对于单孤子还是多孤子，在线性损耗的作用下，它们的振幅和能量都将随着时间的增加而指数衰减直至零。不过，微扰的影响并不会改变孤子的传输速度。特别地，对于多孤子，孤子的碰撞性质也不会受微扰影响而发生改变。也就是说，原来等幅传输的弹性碰撞的两孤子在碰撞后仍然保持以相等的振幅传输，它们之间也不发生能量的转移和交换。

目录

文摘

英文文摘

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一引言

（一）概述

1孤立子的由来及发展

2孤立子方程

3微扰理论的概述

（二）论文的研究意义及其框架

二直接微扰方法

（一）非线性薛定谔方程

（二）直接微扰方法

（三）直接微扰方法的可靠性分析

1精确解

2近似解

3可靠性分析

（四）微扰对孤子的影响

（五）小结

三非线性薛定谔方程族的近似解

（一）耦合非线性薛定谔方程组

1近似解

2微优对孤子的影响

（二）多分量耦合非线性薛定谔方程

1近似解

2微优对孤子的影响

（三）（2+1）维非线性薛定谔方程

1近似解

2微优对孤子的影响

（四）小结

四总结与展望

附录：分步傅立叶方法

参考文献

攻读硕士期间发表的学术论文

致谢