Fourier级数的Lˆ1收敛性

摘要

三角级数作为一个强有力的数学工具,在很多学科有大量的应用.为了对三角级数(特别是Fourier级数)进行有效的处理(计算等),研究其收敛性是重要的.特别地,在三角级数(Fourier级数)一致收敛和平均收敛性问题中,人们一直关心三角级数(Fourier)系数的单调递减条件的最终推广.本文中,对于具有非负系数的Fourier级数,将Korus提出的GM7条件在给出恰当的平衡性条件后将其关于L1收敛的经典结果非平凡地推广到复空间.对于具有一般系数(可变符号)的Fourier级数,在给出的新的PMBV条件下,将其关于L1收敛性的经典结果做出本质性的推广。对于系数满足PMBV条件的正弦(余弦)三角级数,研究了其L1可积性相关的问题。
　　 本论文可以分为五章:
　　 在第一章中,介绍了本文研究内容的背景以及现在国内外的研究状况.本文完成的工作与已有工作的关系.此外给出了本文中将会用到的部分记号及符号等。
　　 对于具有非负系数的Fourier级数,怎样将其系数所满足的单调性条件作出适当的拓广,并且能够保证其关于各种收敛性问题的经典结果成立,吸引了众多学者的研究兴趣.虽然已经证明已有的MVBV条件从某种程度上说是本质上最广泛的.但是,若将满足各种条件的序列从集合论的角度看,所谓的“边界点”问题依然存在.作为对MVBVS的边界点的拓广,GM7条件是一个有意义的尝试.将这个条件推广到复数空间也是一项有意义的工作.尤其是通过恰当的单边条件加平衡条件的形式使得推广是非平凡的.特别地,这个推广的过程中修正了以前的类似相关工作的一个缺失,即复数空间中的结果应同时包含正弦级数与余弦级数的情况.这也对以后的类似推广做了一个有意义的借鉴.这是第二章的工作.
　　 对于具有一般系数(可变符号)的Fourier级数,最初的关于级数收敛及平均收敛性问题的经典结果是对提出的具有罕变系数的Fourier级数做出的.此后,很多人在更弱的条件下得出了很多结果.不久前,Zhou在他提出的PBV条件下对此课题给出了一个本质性推广.第三章提出了新的对PBV条件的推广,即PMBV条件,并且证明了其确实是对PBV的拓广,并且根据MVBV条件本质不能再推广的特性以及PMBV条件分段定义的特点,知道所谓的“边界点”问题也不再存在,从而说明从某种意义上讲PMBV条件是单调性条件一个最终的推广.在此条件下我们得到了关于Fourier级数L1收敛性的经典结果.
　　 经典分析中,人们感兴趣的问题是,正弦或余弦三角级数的系数满足何种条件时,可以保证其和函数可积.最初经典结果是在其系数单调递减的条件下得到的.第四章将会应用提出的新的PMBV条件对经典结果做出推广.
　　 在第五章中,总结并讨论了本文完成的工作,并且对与后面需要更进一步推进的研究提出一些看法.