分数阶微分方程的分析力学方法

摘要

分数阶动力学的研究是国际科学与工程领域的前沿课题，引起各领域科学家的广泛关注.但是，求解分数阶微分方程的积分是一个基础而又困难的问题!
　　1788年以来，伴随着分析力学的发展，分析力学家提供了一整套求解动力学方程的积分方法，例如寻找守恒量的Poisson方法、Jacobi最终乘子方法、Lie对称性方法、Mei对称性方法等等，并且已经把这些经典的积分方法拓展应用于求解整数阶微分方程.
　　最近20年，国际上科学家们分别建立了分数阶Lagrange方程、分数阶Hamilton方程和分数阶非完整系统动力学方程.2010年以来，Luo带领的课题组建立了新的分数阶Lagrange力学，完整的分数阶Hamilton力学，分数阶广义Hamilton力学，分数阶Birkhoff力学和分数阶Nambu动力学，进而研究了这些系统的梯度表示、代数结构、Poisson守恒律、变分方程、积分不变量、运动稳定性等，给出了构造实际分数阶动力学模型的分析力学方法.问题是:基于分数阶微分方程的分析力学表示，能否利用分析力学经典的积分方法求解分数阶微分方程呢？
　　本论文在分数阶导数的Riesz-Riemann-Liouville定义下，基于分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示，研究分数阶微分方程的分析力学方法，主要包括分数阶微分方程的分数阶Jacobi最终乘子方法、分数阶Lie对称性方法和分数阶Mei对称性方法，并研究这三种方法在实际分数阶动力学模型中的应用.在理论上，拓宽了分数阶动力学理论和分数阶微分方程理论;在方法上，提供了求解实际分数阶模型的三种方法;在应用上，研究了几个典型的实际分数阶模型的分析力学方法，也为探索其它实际模型的内在性质和动力学行为提供了借鉴.这在现代数学、力学、物理学和工程中有着重要的理论价值和宽泛的实际实用价值，也丰富和发展了分数阶动力学以及分数阶微分方程的理论与方法.
　　第一章简要介绍了分析力学和分数阶动力学研究的历史与现状，提出了本论文所要解决的问题.
　　第二章首先，分别介绍了Riemann-Liouville、Riesz-Riemann-Liouville、Caputo和Riesz-Caputo四种不同分数阶导数的定义及其主要性质.然后，基于Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数的定义，给出了分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示;并分别提出了构造分数阶动力学模型的分数阶Lagrange方法、分数阶Hamilton方法、分数阶广义Hamilton方法、分数阶Birkhoff方法和分数阶Nambu方法.
　　第三章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法，即分数阶Jacobi最终乘子方法.在Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数的定义下，研究一般的分数阶微分方程，构造它的分数阶Jacobi最终乘子，分别给出最终乘子的确定方程和三个重要性质.然后，提出分数阶Jacobi最终乘子方法，包括寻找分数阶系统守恒量的三个定理.再者，将分数阶Jacobi最终乘子方法分别应用于分数阶Lagrange系统、分数阶Hamilton系统、分数阶广义Hamilton系统、分数阶Nambu系统和分数阶Birkhoff系统，给出五个相关命题.而且，利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶Jacobi最终乘子方法，寻找实际动力学系统的守恒量，分别求得分数阶广义相对论Buchduhl模型、分数阶Robbins-Lorenz模型、分数阶Euler-Poinsot模型和分数阶Duffing振子模型的守恒量.
　　第四章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法，即分数阶Lie对称性方法.在Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数定义下，基于分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示，提出寻找分数阶系统守恒量的分数阶Lie对称性方法，包括构造一种新的单参数分数阶无限小变换，在这种变换下，得到分数阶Lie对称性的确定方程和求解系统守恒量的定理.而且，利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶Lie对称性方法，寻找实际动力学系统的守恒量，分别求得分数阶Hénon-Heiles模型、分数阶Emden模型、分数阶Lotka生化振子模型、分数阶Duffing振子模型和一个四维分数阶Birkhoff模型的守恒量.最后，在分数阶框架下探究了Lie对称性方法和Jacobi最终乘子方法之间的关系.
　　第五章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法，即分数阶Mei对称性方法.在Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数定义下，基于分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示，提出寻找分数阶系统守恒量的分数阶Mei对称性方法.在一般的分数阶Lie变换下，分别得到相应的分数阶Mei对称性确定方程和求解系统守恒量的定理.而且，利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶Mei对称性方法，寻找实际动力学系统的守恒量，求得分数阶Kepler模型、分数阶Hénon-Heiles模型、分数阶相对论Buchduhl模型、分数阶相对论Yamaleev振子模型和分数阶Hojman-Urrutia模型的守恒量.
　　第六章归纳总结了本文的主要工作，提出了分数微分方程的分析力学方法进一步研究工作的一些建议.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 分析力学研究的历史与现状

1．2 分数阶动力学研究的历史与现状

1．3 问题的提出

1．4 主要研究内容

第二章 分数阶微分方程的分析力学表示

2．1 分数阶导数的定义与性质

2．1．1 Riemann-Liouville分数阶导数的定义与性质

2．1．2 Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数的定义与性质

2．1．3 Caputo分数阶导数的定义与性质

2．1．4 Riesz-Caputo分数阶导数的定义与性质

2．2 分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示

2．3 分数阶微分方程的分数阶Hamilton表示

2．4 分数阶微分方程的分数阶广义Hamilton表示

2．5 分数阶微分方程的分数阶Nambu表示

2．6 分数阶微分方程的分数阶Birkhoff表示

2．7 本章小结

第三章 分数阶Jacobi最终乘子方法

3．1 分数阶Jacobi最终乘子方法

3．1．1 分数阶Jacobi最终乘子

3．1．2 寻找守恒量的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．1．3 (t，yk)空间中寻找守恒量的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．2 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．2．1 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．2．2 (t，qk)空间中基于分数阶Lagrange表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．2．3 应用：寻找分数阶Duffing振子模型的守恒量

3．3 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．3．1 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．3．2 (t，qk，pαk)空间中基于分数阶Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．3．3 应用：寻找分数阶广义相对论Buchduhl模型的守恒量

3．4 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．4．1 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．4．2 (t，xk)空间中基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．4．3 应用：寻找分数阶Robbins-Lorenz模型的守恒量

3．5 基于分数阶Nambu表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．5．1 基于分数阶Nambu表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．5．2 (t，xk)空间中基于分数阶Nambu表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．5．3 应用：寻找分数阶Euler-Poinsot模型的守恒量

3．6 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．6．1 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．6．2 (t，ak)空间中基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Jacobi最终乘子方法

3．6．3 应用：寻找分数阶Buffing振子模型的守恒量

3．7 本章小结

第四章 分数阶Lie对称性方法

4．1 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Lie对称性方法

4．1．1 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Lie对称性

4．1．2 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．1．3 (t，qk)空间中基于分数阶Lagrange表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．1．4 应用：分数阶Hénon-Heiles模型的分数阶Lie对称性守恒量

4．2 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Lie对称性方法

4．2．1 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Lie对称性

4．2．2 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．2．3 (t，qk，pαk)空间中基于分数阶Hamilton表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．2．4 应用：分数阶Emden系统的分数阶Lie对称性守恒量

4．3 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Lie对称性方法

4．3．1 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Lie对称性

4．3．2 分数阶Lie对称性方法的若干重要关系

4．3．3 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Lie对称性的基本积分变量关系和新守恒律

4．3．4 基于偶数维分数阶广义Hamilton表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．3．5 (t，xk)空间中基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．3．6 应用：分数阶Lotka生化振子模型的分数阶Lie对称性守恒量

4．4 基于分数阶Nambu表示的分数阶Lie对称性方法

4．4．1 基于分数阶Nambu表示的分数阶Lie对称性

4．4．2 基于分数阶Nambu表示的分数阶Lie对称性的守恒律

4．4．3 (t，xk)空间中基于分数阶Nambu表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．4．4 应用：分数阶Duffing振子模型的分数阶Lie对称性守恒量

4．5 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Lie对称性方法

4．5．1 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Lie对称性

4．5．2 基于分数阶Birhoff表示的分数阶Lie对称性的守恒律

4．5．3 (t，ak)空间中基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Lie对称性守恒律

4．5．4 应用：一个新的四维分数阶Birkhoff动力学模型的分数阶Lie对称性守恒量

4．6 分数阶框架下的Lie对称性方法与Jacobi最终乘子的关系

4．7 本章小结

第五章 分数阶Mei对称性方法

5．1 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Mei对称性方法

5．1．1 基于分数阶Lagrange表示的分数阶Mei对称性

5．1．2 基于分数阶Lagrange表示的Mei对称性守恒律

5．1．3 应用：分数阶Kepler模型的分数阶Mei对称性守恒量

5．2 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Mei对称性方法

5．2．1 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Mei对称性

5．2．2 基于分数阶Hamilton表示的分数阶Mei对称性守恒律

5．2．3 应用：分数阶Hénon-Heiles模型的分数阶Mei对称性守恒量

5．3 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Mei对称性方法

5．3．1 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Mei对称性

5．3．2 基于分数阶广义Hamilton表示的分数阶Mei对称性守恒律

5．3．3 应用：分数阶广义相对论Buchduhl模型的分数阶Mei对称性守恒量

5．4 基于分数阶Nambu表示的分数阶Mei对称性方法

5．4．1 基于分数阶Nambu表示的分数阶Mei对称性

5．4．2 基于分数阶Nambu表示的分数阶Mei对称性守恒律

5．4．3 应用：分数阶相对论Yamaleev振子模型的分数阶Mei守恒量

5．5 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Mei对称性方法

5．5．1 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Mei对称性

5．5．2 基于分数阶Birkhoff表示的分数阶Mei对称性守恒律

5．5．3 应用：分数阶Hojman-Urrutia模型的分数阶Mei对称性守恒量

5．6 本章小结

第六章 总结与展望

6．1 论文主要结果

6．2 未来研究工作的设想

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的论文