紧框架表示下的稀疏恢复

摘要

压缩感知是近年来国际上应用数学领域极为热门的研究前沿.它是一种新的采样方式:稀疏信号可以通过较少的随机测量恢复.实例表明目标信号往往是在某组基或框架表示下稀疏.经典压缩感知理论仅适用于正交基（或相关性小的框架）表示下的稀疏恢复.对于（相关性较大的、冗余的）一般框架，Candès、Eldar等人提出关于某个框絮的约束等距准则(D-RIP)的概念，给出了l1分析法的稳定恢复的理论结果.此外，目标信号有很大一类可列为多模态数据，即由相异形态的多个成分组成.Donoho、 Kutyniok考虑给定原始多模态数据，利用l1分解分析法进行成分分离的问题.借助于D-RIP的概念，本文展开了如下的几个研究工作:
　　考虑可压缩数据分离问题、即在多模态数据的较少随机测量下的数据分离问题，给出l1分解分析法的稳定性恢复结果.从而解决了Candès、 Eldar等人提出的公开问题.
　　延续Candès、Eldar等人（单模态数据）的工作，提出利用l∞限制的l1分析法恢复信号，给出其稳定恢复结果并指出该分析法的优点.
　　延续第二项的工作，改进D-RIP条件.通过引入一些记号、引理和证明技巧，几乎将所有的经典稀疏理论中有关RIP的充分条件推广到相应的l1分析问题中的关于D-RIP的充分条件，从而可得到比之前文献中都弱的充分条件.
　　最后我们研究了经典稀疏恢复理论中的正交匹配算法(OMP)，给出其在噪音随机测量下的非一致支集恢复的结果.对于可容许测量矩阵,改进了前人基于RIP或(MIP)分析所得到带噪音的结果.对于随机部分傅里叶测量矩阵，部分解决了Tropp等人提出的关于OMP的猜想.

目录

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摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．2 经典压缩感知理论

1．3 框架表示下的稀疏恢复

1．4 信号分离

1．5 本文的主要内容

1．6 记号

第二章 可压缩数据分离

2．1 主要结果

2．2 定理2．1．1的证明

第三章 ADS模型和ALASSO模型

3．1 ADS模型

3．2 ALASSO模型

3．3 相关引理、主要结果的证明

3．3．1 引理3．1．2的证明

3．3．2 定理3．1．1的证明

3．3．3 定理3．1．5的证明

3．3．4 定理3．1．7的证明

3．3．5 定理3．2．1的证明

第四章 D-RIP条件的改进

4．1 前言

4．2 利用l1分析法进行恢复

4．2．1 有界噪音

4．2．2 高斯噪音

4．3 其他充分条件和讨论

4．4 证明

4．4．1 前言有关结论的证明

4．4．2 定理4．2．1的证明

4．4．3 定理4．3．1的证明

第五章 带噪音随机测量下利用OMP算法的非一致支集恢复

5．1 OMP算法

5．2 随机测量类

5．3 主要结果

5．3．1 伯努利矩阵

5．3．2 推广到容许随机矩阵

5．3．3 随机部分傅里叶矩阵

5．4 有关伯努利矩阵的主要结果的证明

5．4．1 引理

5．4．2 定理5．3．1的证明

5．4．3 定理5．3．3的证明

5．5 关于随机部分傅里叶矩阵的主要结果的证明

5．5．1 引理

5．5．2 定理5．3．10的证明

5．5．3 定理5．3．12的证明

参考文献

简历

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