聚变等离子体中若干时空演化过程的最优控制计算方法研究

摘要

磁约束受控核聚变将是未来新型能源发展研究的重要方向，或成为解决能源危机问题的终极解决方案。作为最有前景的受控磁约束核聚变反应装置—托卡马克，在等离子体放电过程中，存在很多复杂的时空演化过程，其数学模型可以用偏微分方程(PDE)描述，里面涉及到很多极具挑战性的数学建模和控制问题亟需解决。本论文针对受控磁约束核聚变反应时空演化过程中所涉及的PDEs最优控制问题，进行了详细计算方法研究，取得了以下研究成果:
　　1.针对聚变等离子体在放电爬升阶段中电流空间剖面分布的最优控制问题，提出了一种有效的数值计算方法。这种方法首先通过Galerkin方法对原系统模型进行了空间降维处理，成功将描述原系统模型的磁扩散PDE近似降维成一个低维的常微分方程(ODE)模型系统。在降维ODE系统模型基础上，通过利用控制量参数化方法(Control parameterization method)及时间尺度变换方法(Time-scaling method)将最优控制问题等价转化为一系列最优参数选择问题，然后利用梯度优化算法，如序列二次规划算法(SQP)进行求解。该方法不仅能够优化控制参数变量，还可以对控制器切换转换时间点进行最优选择，使得结果更加精确。通过灵敏度方程分析方法，显式给出了目标函数及约束条件关于控制参数变量与时间参数变量的梯度的表达式。
　　2.针对聚变等离子体在放电爬升阶段中电流空间剖面分布的最优控制问题，提出了一种基于PDE模型系统直接优化的算法框架对其进行了最优演化轨迹的设计求解。在该算法框架下，通过利用MATLAB编程语言，结合SQP算法及PDE求解器PDEPE，设计开发了一个友好的人机交互界面(GUI)，在给定系统输入参数设置条件下，实现了PDE约束优化问题的直接求解，方便了聚变等离子体控制问题的处理，同时也为其它更一般的时空演化过程系统控制提供了参考依据。
　　3.针对聚变等离子体时空演化过程中涉及的一类不稳定时空演化过程，提出了一种新的优化算法去设计状态反馈控制器，实现了闭环系统稳定。该算法通过将系统的状态反馈核直接参数化为一个二阶多项式形式，其系数作为决策变量去进行优化处理，在计算过程中避免了求解不规范且复杂的黎卡提方程(Riccati equations)或者Klein-Gorden类型偏微分方程，这是与传统的LQ方法或者Backstepping方法最大的不同之处。通过求解协态方程，实现了目标函数及约束条件关于决策变量的梯度信息，并显式给出了梯度信息的表达式，同时通过理论分析，证明了最优反馈核能保证系统的可行解以及闭环系统的稳定性。

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摘要

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第1章 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 核聚变反应及等离子约束

1．3 聚变等离子体控制研究现状

1．4 论文研究内容及结构

第2章 等离子体放电爬升阶段最优控制问题

2．1 托卡马克极向磁通量时空演化模型

2．2 系统输出及约束

2．3 最优控制问题描述

2．4 本章小结

第3章 等离子体放电爬升阶段最优控制问题求解

3．1 引言

3．2 模型降阶／Galerkin方法

3．3 最优控制数值计算过程

3．3．1 控制变量参数化

3．3．2 时间尺度变换方法(Time-scaring method)

3．3．3 最优问题求解

3．4 数值仿真

3．4．1 模型验证

3．4．2 匹配目标1

3．4．3 匹配目标2

3．5 本章小结

第4章 等离子体放电爬升阶段轨迹优化工具包设计

4．1 问题描述

4．2 控制变量参数化

4．3 优化框架结构实现

4．3．1 目标函数求解实现

4．3．2 参数优化过程实现

4．3．3 图形用户界面(GUI)实现

4．4 数值仿真

4．4．1 数值例子1：匹配目标1

4．4．2 数值例子2：匹配目标2

4．5 本章小结

第5章 等离子体演化过程中一类不稳定抛物型系统状态反馈核设计

5．1 引言

5．2 最优控制问题描述

5．2．1 反馈核优化问题

5．2．2 闭环系统稳定性分析

5．3 梯度信息计算

5．4 数值计算过程

5．4．1 状态PDE系统求解

5．4．2 协态PDE系统求解

5．4．3 数值积分计算

5．5 数值仿真

5．5．1 情况1

5．5．2 情况2

5．5．3 情况3

5．6 本章小结

第6章 总结与展望

6．1 全文工作总结

6．2 未来工作展望

参考文献

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