一种证明二次有理Bézier曲线曲率分布特征的新方法

摘要

在计算机辅助几何设计(CAGD)中,曲线曲面造型的研究是最基本、最主要的问题之一.而在曲线曲面的造型过程中,曲线曲面的基本特征直接影响曲线曲面的形状,所以对其曲率与挠率的研究极其重要.本文主要分析了二次有理Bézier曲线段曲率的分布特征,并给出一种证明二次有理Bézier曲线曲率分布特征的新方法.该方法主要利用圆锥曲线的几何特征,得到圆锥曲线的对称轴方程.基于曲线段控制顶点与圆锥曲线的对称轴的相对位置,给出了二次有理Bézier曲线的曲率分布特征定理.全文主要分为五个部分: 第一章,介绍了计算机辅助几何设计所研究的主要问题、在工业生产中的广泛应用、以及CAGD的主要发展历程,并给出了圆锥曲线的研究现状、有理Bézier曲线曲率的主要研究成果及发展趋势. 第二章,引入了相关的预备知识:Bernstein基函数的定义及性质、Bézier曲线的定义及其性质、有理Bézier曲线的定义及其性质、有理Bézier曲线权因子的意义和三种类型的圆锥曲线的几何特征. 第三章,主要给出了一种证明二次有理Bézier曲线曲率分布特征的新方法.即通过对圆锥曲线几何特征的研究,得到了圆锥曲线的轴对称方程.基于控制顶点与对称轴的位置关系,给出了二次有理Bézier曲线的曲率分布特征.利用该方法,先证明了抛物曲线段的曲率分布特征,并列举相应实例;其次,研究了双曲线段曲率单调递增和有极值的性质,并给出相应实例;最后,分析了椭圆曲线段曲率分布特征的性质并给出实例. 第四章,对全文进行总结及展望.

目录

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第一章 绪 论

1.1 CAGD 的研究及其背景

1.2 圆锥曲线及曲线曲率的研究历程及本文研究的主要内容

第二章 预备知识

2.1 Bernstein 基函数

2.2 Bézier 曲线

2.3 有理 Bézier 曲线

2.4 有理 Bézier 曲线权因子的几何意义

2.5 圆锥曲线的几何特征

第三章 曲率变化特征定理的证明

3.1 抛物线段的曲率分布定理

3.2 双曲线的曲率分布定理

3.3 椭圆的曲率分布定理

第四章 总结

参考文献

在学研究成果

致谢