基于Bernstein多项式的配点法求解高阶微分方程

摘要

科学工程领域诸多问题都可以通过建立微分方程模型来描述，其中部分问题表现为高阶微分方程。求解微分方程的数值方法有很多，本文主要在全局化配点法与分片多项式配点法基础上进一步展开研究。近十几年来有学者尝试利用Bernstein多项式的函数空间法求解不同类型的微分或积分方程，数值实验表明这种全局化方法很好地解决了一般线性常微分方程问题，但我们研究发现其不适应于求解含小参数的扰动问题。本文尝试利用分片高次Bernstein多项式求解高阶微分方程含小参数问题。
　　本文利用基于Bernstein多项式的配点法求解高阶微分方程。第1节在引言中简单给出了微分方程问题数值求解方法的研究现状，并具体介绍了与本文内容相关的几类方法以及相关预备知识。第2节提出利用全局化Bernstein多项式的配点法求解一般高阶微分方程，详细给出了格式的构造过程并写出了一般形式，然后以四阶微分方程和六阶微分方程为例进行数值实验，得到了很好的计算结果。而对于带小参数的扰动微分方程问题，因全局化方法受计算机容量限制和舍入误差影响而无法求解，为此，我们采用分片Bernstein多项式来解决这个问题。第3节我们尝试利用分片五次的Bernstein多项式的配点法求解四阶微分方程，同样地，第4节进一步推广，利用分片七次的Bernstein多项式的配点法求解六阶微分方程。第3、4节给出了分片Bernstein多项式的配点法的具体构造过程，并将其数值实验结果与第2节全局化方法的数值实验结果做了数值比对，其中求解一般微分方程的数值结果优于全局化方法，而对于全局化方法无法解决的带小参数的扰动微分方程，分片Bernstein多项式的配点法也得到了良好的计算结果。
　　基于Bernstein多项式的配点法，格式构造过程容易理解，分片Bernstein多项式配点法形成的方程组的系数矩阵带状稀疏，数值实验效果好。另外，不论是全局化Bernstein多项式的配点法还是分片Bernstein多项式的配点法都容易推广到其他类型的微分方程及高维微分方程的计算中，有进一步研究的意义和价值。

目录

声明

摘要

§1 引言

§1．1 研究现状

§1．2 Bernstein多项式的定义及性质

§1．3 本节小结

§2 全局化Bernstein多项式的配点法

§2．1 格式构造

§2．2 数值算例

§2．3 本节小结

§3 分片五次Bernstein多项式样条配点法求解四阶微分方程

53．1 格式构造

§3．2 数值算例

§3．3 本节小结

§4 分片七次Bernstein多项式样条配点法求解六阶微分方程

§4．1 格式构造

§4．2 数值算例

§4．3 本节小结

§5 全文总结与展望

参考文献

致谢