基于Pade逼近方法的全局分岔问题研究

摘要

同(异)宿轨道是分岔与混沌研究中最基本的概念。同(异)宿轨道的破裂可导致混沌,研究非线性动力学系统的同(异)宿分岔对于分析系统全局行为具有十分重要的理论价值。现有研究同(异)宿分岔问题的解析方法(如Melnikov方法)普遍存在适用范围有限,计算精度不高等问题。考虑到解析方法在非线性系统全局动力学行为研究中的重要作用,有必要针对现有解析方法做进一步的改进。作为本文工作的理论基础Pade逼近方法是一种有效的有理逼近方法,在计算数学、量子力学及控制论等领域具有广泛应用。将其与同(异)宿分岔问题相结合,有助于完善非线性动力系统的全局动力学分析方法。针对以上问题,本文进行了如下研究:
　　1)拓展了类Pade方法的适用范围。推导了在线性及非线性项系数为变参数时,具有三次非线性项的保守系统、自治系统及非自治系统下的同宿解及异宿解的解析表达式和同异宿分岔点。构造了两种形式的异宿解,提出新的收敛条件,分析具有三次非线性项保守系统的异宿轨道问题,简化了拓展后类Pade方法计算异宿轨道的计算量。
　　2)在前述工作的基础上,首次将Pade方法引入非线性振动系统,分析非线性作用下,线性及非线性系数为变参数时的全局分岔问题。证明了在扰动作用下Pade方法初值点的选取规律。以含有三次非线性项的保守系统及自治系统为研究对象,推导得到解析的同异宿解,成功求得分岔参数。分析具有二次、三次非线性项的保守系统及自治系统的特点,推导得到同宿轨道的解析表达式及同宿分岔点。分析具有三次非线性项非自治系统的全局分岔问题,推导得到了同异宿轨道的解析表达式。
　　3)对Pade逼近方法进行改进,提出新的收敛条件,进一步提高了它的计算精度和适用范围。另一方面,从理论上证明了利用Pade方法直接计算带扰动参数的微分方程,无须规定扰动参数的取值范围的正确性及精确性。从而形成了新的强非线性振动系统定量分析方法。

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第一章 绪论

1.1研究背景

1.2非线性理论

1.3概述Pade逼近理论

1.4论文的工作安排

第二章 类Pade方法在研究同（异）宿轨道的拓展

2.1引言

2.2类Pade方法在研究同宿轨道中的应用

2.3类Pade方法在研究保守系统同（异）宿轨道的拓展

2.4类Pade方法在研究自治系统的同（异）宿轨道的拓展

2.5类Pade方法在研究非自治系统的同（异）宿轨道的拓展

2.6本章小结

第三章 Pade方法在研究保守系统同（异）宿轨道中的应用

3.1引言

3.2用Pade方法计算三次非线性保守系统的同（异）宿解

3.3用Pade方法计算具有二次、三次非线性保守系统的同宿解

3.4本章小结

第四章 Pade方法在研究自治系统同（异）宿轨道中的应用

4.1引言

4.2分析扰动作用对Pade方法及其选取初值点的影响

4.3用Pade方法计算具有三次非线性自治系统的同（异）宿解

4.4用Pade方法计算具有二次、三次非线性自治系统的同宿解

4.5本章小结

第五章 Pade方法在研究非自治的系统同（异）宿轨道中的应用

5.1引言

5.2用Pade方法计算非自治系统的同宿解

5.3用Pade方法计算非自治系统的异宿解

5.4总述Pade方法在非线性微分方程中的应用

5.5本章小结

第六章 全文总结

6.1本文总结

6.2问题与展望

参考文献

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