间断Galerkin有限元方法在超音速流动中的数值计算研究

摘要

间断Galerkin有限元方法因具有可以方便的构造高阶精度的显式半离散数值格式以及对一般非规则网格更强的适应性等优势，逐渐成为计算流体力学中的一个重要的数值模拟方法。在使用间断Galerkin有限元方法的计算过程中，需要构造相应的积分表达式作为数值求解的出发点，继而会引入体积分和面积分。对于这些积分项的值，一般需要通过数值积分的方法获得。当需要使用高阶间断Galerkin有限元方法时，数值积分计算精度的要求会相应地增加，其所需的计算量将变得很大，而数值积分的计算量又在很大程度上决定了间断Galerkin有限元方法的计算效率。
　　本文推导了一维、二维守恒律及高阶方程建立DG方法的强解及弱解积分表达式的过程，并针对数值积分所需计算量很大这一问题，重点说明了通过建立Lagrange插值多项式基函数和Jacobi正交多项式基函数的一定关系，构造了一种无数值积分的间断Galerkin有限元方法显式半离散格式，并通过直接数值模拟验证了该格式处理一维、二维线性和非线性问题以及含有高阶空间导数问题的有效性。该方法不再需要通过数值积分来计算每个单元的积分项，而且有效地达到了间断Galerkin有限元方法的高阶精度，其对于构造更为高效的高阶间断Galerkin有限元计算方法具有非常显著的意义。同时，本文还讨论了数值通量的构造思想及其对数值结果的影响，以及混叠误差和过滤器稳定化、构造限制器消除非物理振荡等问题。

目录

声明

字母注释表

第一章 绪 论

1.1 计算流体力学数值方法发展简述

1.2 间断Galerkin有限元方法的发展历史及应用现状

1.3 间断Galerkin有限元方法的优势与不足

1.4 本文工作

第二章 重要思想

2.1 Galerkin加权余量法

2.2 Jacobi正交多项式

2.3 计算方法的精度公式

2.4 本章小结

第三章 线性问题

3.1 积分表达式的构造

3.2 相关矩阵的构造

3.3 一维线性波动方程

3.4 一维变系数守恒方程及过滤器稳定化

3.5 本章小结

第四章 非线性及高阶问题

4.1 非线性问题

4.2 高阶问题

4.3 本章小结

第五章 二维问题

5.1 二维控制方程DG格式的构造

5.2 二维可压缩守恒型Euler方程组

5.3 二维可压缩守恒型Navier-Stokes方程组

5.4 本章小结

第六章 结论与展望

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢