试验设计在科学研究和实践中都起着重要的作用，它已广泛应用于农业、化工、医药以及一些高科技产品的研发与制造． Wu and Hamada(2000)将试验的问题依据其研究对象分为五大类：(i)处理比较，(ii）变量筛选，(iii)响应曲面探索，(iv)系统优化，(v)系统稳健性。Mukerjee andWu(2006)进一步总结指出，这些问题除了单因素和两因素的处理比较外，都涉及多个输入变量对试验输出结果的效应研究。这些输入变量称为因子，而这样的试验称为因析试验。为了探究因子变化对响应的作用效应，每个因子必须有两个或两个以上的设置，这些设置称为因子的水平，不同因子的水平组合称为处理组合，在工业试验中一个处理组合也称为一条运行。因析设计考虑的是因析试验中处理组合的选择和安排，包含所有处理组合的设计称为完全因析设计．由于处理组合个数随着因子个数或因子水平数的增多而指数地增多，完全因析设计的试验在实际中往往不可行，因此在实践中通常选择其中某一部分水平组合进行试验，称为部分因析试验。部分因析设计如果能够通过定义关系来表达则称为正规设计．在因析设计中，称所有因子的水平都相等的设计为对称设计，否则称为非对称设计或混合水平设计． 部分因析设计在试验中得到广泛应用，而用最优设计可以获得巨大经济效益，因而如何选择最优设计是非常重要的。在选择最优部分因析试验时需要考虑的一个问题是，资源的限制导致试验次数的限制，如何利用有限的资源尽可能多地来估计期望的因子与它们之间的交互作用及其有关的模型。本文研究两类设计的构造问题：第一部分是研究在一般最小低阶混杂(GMC)准则下非对称最优设计的构造；第二部分是研究尽可能少试验次数的设计对二次响应曲面模型进行估计。 本文第一部分主要研究两水平与四水平混合设计的情形。两水平正规部分因析设计多年来一直受到人们的关注，由于它有简单的别名结构，即任何两个效应要么正交要么完全别名。混合水平设计由于实际的用处受到人们的广泛重视。当一个试验有n个两水平因子和m个四水平因子时称为2n4m混合水平设计（简称2n4m设计）。2n4m设计中的四水平因子可以通过两水平因子替代得到，这种方法最早由Addelman(1962)正式提出，具体替代的准则是任何一个四水平的因子都可以通过三个两水平因子组合得到．随后 Wu(1989)将 Addelman的方法拓展，Wu，Zhang and Wang(1992)将此方法进一步推广到一般的情况。 最早判断因析设计最优性的准则是1961年 Box和 Hunter针对两水平正规设计提出的最大分辨度(MR)准则。不同的设计可能含有相同的最大分辨度，为了进一步区分它们的优劣，Fries and Hunter(1980)提出了最小低阶混杂(MA)准则．目前人们已经将两水平正规设计的MR和MA准则推广到两水平与四水平混合的情形。值得注意的是MR和MA准则都是从字长型(WLP)出发的，而字长型只是反应效应之间的一种平均混杂性质，因而从字长型出发的MR和MA准则求得的最优设计，只是试验者对试验因子重要性顺序无任何先验信息时最适用的。而实际中大多数试验中试验者具有这方面的先验信息，那么在此情况下如何选择最优设计就成为迫切需要解决的问题。为了解决此类问题，Zhang，Li，Zhao and Ai(2008)针对两水平正规设计提出了不同于WLP的别名效应数目型(AENP)来分类设计．一个设计的AENP包含了所有效应与其他效应以不同严重程度别名的基本信息，相比基于字长型准则的分类设计，它更充分、更直接地反映了设计中不同阶因子效应之间的混杂关系。另外，其他准则都可以通过表示为AENP的函数而得到。同时基于AENP，他们提出了一般最小低阶混杂(GMC)准则，该准则下的最优设计称为GMC设计。新的准则比其他准则更精确客观地体现了效应等级原则。目前AENP和GMC准则逐渐发展完善起来，形成了GMC理论体系。它统一了现有各种准则的表达和助于深刻揭示各准则内在性质和关系，同时基于AENP可以产生其他各种在实际中有用的最优准则和设计．在这种理论体系下已经有了大量的研究成果，例如Zhang and Mukerjee(2009a，b)对GMC准则在任意素数或素数次幂水平下的刻画．Li，Zhao and Zhang(2011)构造了5N/16+1≤n≤N-1情形下的正规2n-k GMC设计(N=2n-k是处理组合数，n为因子数目)。他们得到的结论非常直观：对于任何满足约束条件的因子数n，其对应的GMC设计由Hq的后n列组成，其中 Hq是按 Yates序排列的2（N-1）-[（N-1）-q]饱和设计．Zhang and Cheng(2010)以及Cheng and Zhang(2010)在Doubling方法、SOS设计和MaxC2设计的基础上，构造了N/4+1≤n≤5N/16的两水平GMC设计。构造的结果同样简单：对应的GMC设计是一个变换的Yates序（叫做RC Yates序）的Hq的后n列组成．Zhang，Wei and Li(2010)提出了区组别名效应型(B-AENP)和区组一般最小低阶混杂准则(B-GMC)来选择最优区组设计．他们得到试验次数为16，32，64的区组一般最小低阶混杂准则设计的结果，明显优于MA准则下的最优设计． 本文第一部分在两水平正规GMC设计构造的基础上考虑非对称的GMC设计，提出非对称GMC准则，并且得到了因子数n满足N/4+l≤n+2 本文第二部分是对二次响应曲面模型进行估计。对于实际收集到的数据，人们通常采用一些数学方法去分析，比较流行的是多项式逼近法。它首先从一阶模型着手，如果试验的范围已经最优，为了得到更精确的逼近，需要再再追加一些试验次数，利用二阶模型进行拟合等等。对于二次响应曲面模型，常用的有中心组合法(简称CCD，Boxand Wilson，1951)和Box-Behnken设计(Box and Betnken，1958)，这两种设计具有许多优良的性质，比如正交性和高效性，同时也存在一些问题，比如随着因子个数的增加试验次数会迅速增加。Draper和Lin等人做了大量工作来减少CCD设计的试验次数，Box-Behnken设计近些年来受到了不少关注，如Whittinghill(1998)，Nguyenand Borkowski(2008)，但很少有关于减少试验次数的研究。本文的目的就是在保持Box-Behnken设计良好性质的前提下来减少试验次数。 Box-Behnken设计是将两水平的因析设计与不完全区组设计通过特别的方式结合，再加上两水平的均值作为中心点得到。在这一部分，我们构造了一种新的Box-Behnken设计，它通过平衡不完全区组设计(BIBD)或是部分平衡不完全区组设计(PBIBD)进行构造，能以较高的效率和较少的试验次数来拟合二次响应曲面模型。区组中处理替代的方法一部分采用23-1的设计，一部分采用完全设计，这样原有Box-Behnken设计的正交性很好的保留下来。我们利用一种新的算法将参数分组，通过计算组瞬时矩阵(GMM)将模型的参数估计出来，从而大大减少了计算量，当因子数目很大时非常有用。 这一部分的内容分为三章，首先介绍了Box-Behnken设计相关的背景知识。其次构造了新的BOx-Behnken设计并与其他类型的Boc-Behnken设计进行比较。最后提出减少计算量的方法，同时给出了一些具体的图表。 展开▼
