带Robin边界条件的2维随机广义Ginzburg-Landau议程的适定性及其长时间性态

摘要

Ginzburg-Landau方程由于其丰富的物理内涵受到许多专家学者的关注.本文感兴趣的是2维有界区域上的随机广义Ginzburg-Landau方程，研究了该方程在Robin边界条件下温和解的存在唯一性及其长时间性态.
　　第一章简要介绍了Ginzburg-Landau方程的物理背景、已有工作、随机偏微分方程的适定性以及随机动力系统相关知识，并给出了一些文章所需的定义、不等式及引理.
　　第二章解决了带Robin边界条件的2维随机广义Ginzburg-Landau方程解的存在唯一性问题.首先引入一个截断函数，构造截断方程，通过设置适当的函数空间以及相应的算子，由Banach压缩映像原理得到该算子存在唯一不动点，进而得到原方程局部温和解的存在唯一性.证明过程中借助了Sobolev不等式、H(o)lder不等式、以及解半群S(t)的性质.然后通过设置能量泛函，运用It(o)公式、Burkholder-Davis-Gundy不等式进行能量估计，从而获得全局解的存在性.在此过程中，由于Robin边界条件的引入，需要利用Green公式、Trace不等式克服边界带来的困难.
　　第三章证得2维随机广义Ginzburg-Landau方程在Robin边界条件下的解产生的随机动力系统存在随机吸引子.首先引入与系统相对应的Ornstein-Uhlenbeck过程，消去原方程的噪声项，将Stochastic system变为Random system.然后通过建立Random system的解产生的动力系统在不同空间中的吸收集，由紧嵌入定理，最终得到原方程随机吸引子的存在性.由于空间维数是2维，因此在运用Sobolev不等式、Gagliardo-Nirenburg不等式、Agmon不等式等对范数进行估计时需要更精细的技巧.
　　最后一章对以后的研究工作进行思考和展望.

目录

声明

摘要

1 引言及预备知识

1．1 Ginzburg-Landau方程的物理背景

1．2 Ginzburg-Landau方程的已有研究

1．3 随机偏微分方程的适定性

1．4 随机动力系统

1．5 预备知识

2 带Robin边界条件的2维随机广义Ginzburg-Landau方程的适定性

2．1 截断方程

2．2 局部解的存在唯一性

2．3 全局解的存在唯一性

3 带Robin边界条件的2维随机广义Ginzburg-Landau方程的渐近性态

3．1 解产生的随机动力系统

3．2 先验估计

3．3 不同空间中的吸收集

3．4 随机吸引子的存在性

4 研究展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果