区间线性系统的Farkas型定理及区间二次规划的研究

摘要

Farkas引理是一个著名的择一定理，它是最优化理论中许多重要结果的理论基础，如K-T条件就可以由Farkas引理导出。近年来，区间优化的问题得到越来越多的学者的关注。为了建立区间优化问题，特别是区间线性优化与区间二次优化问题的理论基础，将Farkas引理推广到区间系统中是非常有意义的课题。在区间优化问题的研究中，关于区间线性规划的研究较为成熟，而对区间二次规划的研究则较少。本文主要研究的两个方向是：区间线性系统的Farkas引理与区间二次规划的若干性质。
　　本文的主要工作如下：
　　第一章为绪论部分。首先比较详细的介绍了区间线性系统和区间二次规划理论的研究背景及意义，接着对区间理论中的一些常用的基础知识及符号表示作了概括，最后对区间线性系统的Farkas型定理和区间二次规划最优值范围的上下界的研究现状做了简要总结。
　　第二章讨论了八个传统区间线性系统的Farkas型定理。首先介绍八个传统的区间线性系统，然后在区间线性方程组弱可行性的Farkas型定理的基础上，以相同的形式（逻辑量词“任意”和“存在”）给出剩下的七个区间线性系统的Farkas型定理。由于实线性系统的Farkas型定理有多种形式，所以区间系统也不例外，基于已有的区间线性系统的Farkas型定理，讨论了同一区间线性系统下不同形式的Farkas型定理的等价性。
　　第三章讨论了一般型区间线性系统弱、强可解性的Farkas型定理。分别以逻辑量词“任意”和“存在”以及绝对值不等式两种不同的形式给出一般型区间线性系统弱、强可解性的Farkas型定理，并指出本章这个一般型区间系统的Farkas型定理包含了第二章的主要结论为特例，最后举了一个实例用以说明本章的Farkas型定理实用性高于第二章的结果。
　　第四章讨论了两个特殊的一般型区间线性系统AE可解的Farkas型定理。首先介绍区间线性系统AE解和AE可解性的概念，然后给出两个特殊的一般型区间线性系统AE可解的Farkas型定理，在此基础上详细的讨论了已有的这些区间线性系统的Farkas型定理之间的关系，并指出第二、三两章中的主要结论都是本章新提出的Farkas型定理的特例，除此以外，由这两个特殊的一般型区间线性系统的Farkas型定理还可以得到传统区间线性系统AE可解的Farkas型定理，以及最近新提出的区间线性系统(A)-强可解、(b)-强可解的Farkas型定理。
　　第五章讨论了区间二次规划最优值范围上界的新的计算方法。首先介绍了二次规划与区间二次规划的概念以及一些已有的性质，然后提出一种新的计算最优值范围上界的方法，该方法不需要满足对偶间隙为零。由于零对偶间隙对区间二次规划的研究有着重要的作用，因此本章给出一个判断区间二次规划是否满足零对偶间隙的充分条件。之后关于最优值范围的上界，本章详细的讨论了不同的计算方法之间的关系，最后给出几个应用实例对本章的主要结论做进一步说明。
　　第六章讨论了区间二次规划最优值范围下界的性质。首先回顾了相关的二次规划和区间二次规划的概念，接着给出二次规划中的互补松弛条件，并指出其与线性规划中互补松弛条件之间的区别。然后详细的讨论了最优值范围的下界在不同情况下具有的特点，最后给出几个应用实例用以说明本章结果的可行性。
　　第七章首先总结了本文的主要研究成果，并在此基础上提出对未来工作的展望。

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1 绪论

1.1 区间线性系统的Farkas型定理及区间二次规划的研究背景和研究意义

1.2 区间运算基本理论及相关符号说明

1.3 区间线性系统的Farkas型定理及区间二次规划的研究现状

1.4 本文主要内容及结构安排

2 八个传统区间线性系统的Farkas型定理

2.1 预备知识

2.2 区间线性系统的Farkas型定理

2.3 其它形式的区间线性系统的Farkas型定理

2.4 本章小结

3 一般型区间线性系统弱、强可解性的Farkas型定理

3.1 预备知识

3.2 一般区间线性系统的Faraks型定理

3.3 一些推论

3.4 应用实例

3.5 本章小结

4 一般区间线性系统AE可解的Farkas型定理

4.1 预备知识

4.2 两个混合区间线性系统AE可解的Farkas型充要条件

4.3 一些推论

4.4 本章小结

5 区间二次规划最优值上界的新的计算方法

5.1 预备知识

5.2 区间二次规划最优值上界的计算

5.3 区间二次规划Dorn对偶间隙为零的一个充分条件

5.4 关于最优值范围上界的不同计算方法之间的关系

5.5 算例

5.6 本章小结

6 区间二次规划最优值下界的一些性质

6.1 预备知识

6.2 下界的性质

6.3 算例

6.4 本章小结

7 总结与展望

致谢

参考文献

附录