参数具有对称性的等变分歧问题的开折与分类

摘要

1979年，M.Golubitsky和D.G.Schaeffer[32,33]首先引入了应用奇点理论方法和群论方法研究分歧问题的思想，他们对分歧问题研究所使用的主要工具来自光滑映射芽的奇点理论中的相关技巧。它主要包括三个方面：(1)分歧问题的开折，研究分歧问题在一般扰动下的变化状态。如果一个分歧问题存在通用开折，那么对做扰动产生的每一个开折都可以由它的通用开折导出，这说明研究通用开折是很有意义的。(2)分歧问题的识别。为探讨一个分歧问题在什么条件下等价于给定的标准形式，必须寻找这一标准形在等价群D作用下的轨道特征。借助于奇点理论中的一个基本概念(有限决定性)，这一问题常常可以简化为有限维情形来处理。D模去高阶项将以Lie群方式作用，其轨道是半代数集，因而可以将轨道描述成由这样的一些映射芽组成，它们的Taylor系数满足有限多个多项式约束，并以等式和不等式形式表示，这一描述正是识别问题的解。(3)分歧问题的分类，这是一个非常有意义但又是棘手的问题。到目前为止，只对几类分歧问题在低余维条件下的分类问题予以解决。近二十年来，运用奇点理论研究分歧问题主要围绕上述三个方面展开讨论。例如，在开折理论研究中，对于含一个分歧参数的等变分歧问题，当它的状态空间与靶空间相同时，文献[31]给出了通用开折定理。其后许多学者对此继续研究，建立了各种形式的通用开折理论(见[19,2l,24,26,30,40,46,47,49,50,54,56,67,73,74,75,76])。在分歧问题的识别研究中，文献[25]引入幂单代数群和幂零Lie代数作为研究工具，建立了多参数分歧问题的D(Г)-等价理论，文献[59]研究含一个分歧参数的等变分歧问题，建立了U(Г)-等价理论，文献[53]则讨论了多参数等变分歧问题的U(Г)-等价理论；在分歧问题分类研究方面，Keyfitz[44]得到了余维数不超过7的不带对称性的单状态变量的分歧问题的分类。Golubitsky和Schaeffe[34]得到了余维数不超过3的单状态变量以Z2为对称群的单参数等变分歧问题的分类。Golubitsky和Roberts[35]得到了单参数两状态变量关于D4对称的分歧问题在拓扑余维数不超过2的条件下的分类。Melbourne[58]讨论了三状态变量关于八面体群对称的单参数等变分歧问题在拓扑余维数不超过1的条件下的分类。Manoel与Stewart[56]讨论了具有隐藏对称性的分歧问题的分类。Peter[62]研究了两参数单状态变量分歧问题在余维不超过1的条件下的分类。Furter，Sitta和Stewart[24]研究了分歧参数与状态变量具有相同的对称性的多参数等变分歧问题，并给出了参数与状态变量均关于D4对称的两参数等变分歧问题在余维数不超过1的条件下的分类。值得指出的是对分歧问题研究常常不考虑分歧参数的对称性，即使考虑也仅限于参数空间与状态空间有相同的对称性。本文研究分歧参数带有对称性的静态多参数等变分歧问题，而且分歧参数所具有的对称性可与状态变量所拥有的对称性不同，从而建立起更一般的参数具有对称性的静态等变分歧理论，包括静态等变分歧问题的开折、稳定性、识别。在此基础上对状态变量以D4对称群、分歧参数以S1对称群的静态分歧问题在拓扑余维数不超过2的条件下进行分类，这就是本文研究的内容之一。在静态分歧问题的研究中，需要引入分歧问题及其开折的等价关系。通常的开折理论借助于奇点理论中光滑映射芽的接触等价来定义分歧问题及其开折的等价，本文考虑引入奇点理论中的左右等价关系，对于以紧李群为对称群的分歧问题的等价赋予新的含义，因而将要建立的开折理论区别于通常的等变分歧问题的开折理论，这是本文研究的内容之二。本文由相对独立的两部分组成，第一部分包含第一章和第二章，讨论多参数等变分歧问题的开折理论、分歧问题及其开折的稳定性和分歧问题的识别，并给出了状态变量以D4对称群、分歧参数以S1对称群的静态分歧问题在拓扑余维数不超过2的条件下进行分类。第二部分研究多参数等变分歧问题关于左右等价的开折，主要结果是命题3.2.1，定理3.4.1.推广了文献[31,54,57]中的相关结果。

目录

文摘

英文文摘

Chapter one The Unfolding and Recognition of Multiparameter Eqnivariant Bifurcation Problem with Parameter Symmetry

Introduction

§1.1 Preliminaries

§1.2 Contact equivalence groups and tangent space

§1.3 The K(Γ,Δ)-Unfolding Theory

§1.4 Stability of bifurcation problems and their Unfoldings

§1.5 The Recognition Problem

Chapter two Classification and Recognition of (D4, S1)-equivariant bifurcation problem

Introduction

§2.1 Some algebra datum about (D4, S1)-equivariant bifurcation problem

§2.2 Classification and Recognition Theorem

Chapter Three The Unfolding of Multiparameter Equivariant Bifurcation Problems with respect to left-right Equivalence

Introduction

§3.1 Preliminaries

§3.2 A criterion for the triviality of one parameter Γ-unfolding F

§3.3 The tangent space of f0 ∈ En,k;m(Γ) under A(Γ)-equivalence

§3.4 A(Γ)-versal unfolding theorem

§3.5 Infinitesimally A(Γ)-stability of unfolding

Refrences

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