二维弹性问题快速多极虚边界元法研究及其若干应用

摘要

物理、力学以及工程实际问题大多可以从数学上拟定为数学物理方程的边、初值问题。一般而言，一些极简单的少数问题可直接采用解析的方法求解，而对于大多数复杂的问题通常只能采用数值的方法求解。相对于有限元法，边界元法可以降低数值求解的维数，因其只需在求解域的边界上进行网格剖分或离散化；另外，尤其适宜于分析无限域问题，应力集中、裂纹扩展及具有复杂界面形状的复合材料结构问题，……。 虚边界元法具有边界元直接法在工程应用中所体现的优势，此外，还具有避免奇异积分和不存在边界层效应等优点，其思想简单应用方便，且应用范围已涉及到位势、热传导、压电材料及固体力学中的诸多问题等。然而，与边界元直接法一样，对大规模复杂问题按传统手段求解虚边界元法所形成的线性方程组，不但计算耗时多且储存量大。近年来随着快速多极算法的进一步深入研究，其为虚边界元法实现提高计算效率和减少存储空间提供了可行的路径。 本文首先针对二维弹性力学问题的快速多极虚边界元-等额配点法展开了研究，并提出了相应的快速多极展开格式，其使得虚边界元法求解方程的计算耗时量和储存量均降至O(N)量级，这不但极大地提高了计算效率且使得计算自由度达百万以上的问题能够在普通个人微机上得以实现。换言之，与传统求解技术相比较，快速多极虚边界元-等额配点法在保证求解精度的前提下，能够在计算速度上有量级的提高，同时在储存量上有量级的降低。 在上述研究工作的基础上，本文又针对二维弹性力学问题的快速多极虚边界元-最小二乘法展开了研究，并提出了一种具有“O(N)量级”的快速多极虚边界元-最小二乘法的数值计算格式。由于该算法引入了最小二乘的思想，可以较易实现“过额配点思想”，即实、虚边界的单元剖分数或配点数无需相等，且可根据求解问题的计算精度要求来灵活划分虚、实边界上的单元或直接配点，以获得更高的计算效率(相对等额配点而言)。 作为快速多极虚边界元法的上述两种数值计算格式的应用研究，文中重点模拟分析了二维含大规模圆孔和圆形夹杂的复合材料问题，算例中所涉及到的最大计算自由度数达到了百万以上；具体研究了复合材料中基体和夹杂相应细观结构参数对宏观有效性能的影响，并将所得到的数值计算结果与经典细观力学的近似方法作了相应对比，且分析了复合材料内部界面上的应力分布。通过应用研究，获得了一些有重要参考价值的结论；所得表征复合材料宏观物理性能的相关数据可以作为复合材料的参数预报。总之，快速多极算法的引入有效地提高了虚边界元法的计算效率和求解大规模复杂问题的能力，使得虚边界元法有了更好的发展空间。 “数值计算的理论、方法还远远没有完善。如何计算和计算得更好、更快、更省是一个永恒的挑战，关键在于创新。故而，摆在应用数学和计算力学工作者面前的任务之一是：如何更新、完善目前已有的数值算法或创出一条新的算法思路，使其尽可能地做到在工程应用中更完善、更有效、更通用。”这也正是本文的研究目的所在。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1数学物理方程初边值问题常用数值解法

1.2虚边界元法

1.3快速多极算法概述

1.4本文主要工作

第2章虚边界元法基本思想

2.1引言

2.2弹性力学问题的基本方程和基本解

2.3二维问题单域虚边界元法思想

2.4二维问题多域组合虚边界元法思想

2.5虚边界元法方程的建立

2.6本章小结

第3章快速多极虚边界元-等额配点法

3.1引言

3.2快速多极算法的基本原理

3.3快速多极虚边界元-等额配点法数值计算格式

3.4快速多极虚边界元-等额配点法的实施

3.5广义极小残值法

3.6快速多极虚边界元-等额配点法的程序结构

3.7数值算例

3.8本章小结

第4章快速多极虚边界元-最小二乘法

4.1引言

4.2虚边界元-最小二乘法方程组的特征

4.3快速多极虚边界元-最小二乘法基本思想

4.4快速多极虚边界元-最小二乘法的实施

4.5数值算例

4.6本章小结

第5章复合材料若干问题的数值模拟与分析

5.1引言

5.2含均匀分布和随机分布圆孔的正方形板

5.3之字形分布圆孔板

5.4含均匀分布圆形夹杂的正方形板

5.5本章小结

第6章结论与展望

6.1结论

6.2展望

致谢

参考文献

个人简历在读期间发表的学术论文与研究成果