虚拟区域分解法导出的线性代数方程组数值解法

摘要

鞍点型线性代数方程组的数值求解是科学计算领域的热门研究方向，有重要的理论意义和应用价值．比如，工程领域里的混合有限元方法就是鞍点问题的一个主要来源．因为鞍点问题的不定性及较差的谱性质，构造该问题的高效数值求解方法有很大的困难和挑战性． 虚拟区域分解法是求解微分方程数值解的一类有效方法，它首先将定义在不规则区域上的原问题表示为定义在覆盖原区域的规则区域上的等价问题，然后用混合有限元方法离散化，导出相应的鞍点型方程组．因此，对这类方程组提供快速高效的数值求解方法是提高虚拟区域分解法的总体计算效率的关键之一． 本文以变系数二阶椭圆型方程的虚拟区域分解法为模型，深入研究了求解相应的线性代数方程组的多种迭代方法的计算效果．求解方祛包括参数化非精确uzawa算法(Parameterized Inexact uzawamethod)(记为PIU)，预处理uzawa算法(Preconditioned Uzawamethod)，Uzawa算法，GMREs方法(Generalized MinimumResidual method)，预处理GMREs方法．数值结果表明，如果松弛参数选取得当，PIU方法是—个很有效的求解方法．另外，带预处理的GMRE要S方法计算效果也比较理想．同时，本文也给出了相应混合元方法一致稳定性结果的简化新证明．