几类具有退化奇点的平面可积系统的扰动

摘要

本文研究了四类具有退化奇点的平面可积系统的多项式扰动问题，属于Liénard-(m，n)型x'=y，y'=P(x)+εyQ(x)(deg(P)=m，deg(Q)=n)微分系统.当ε=0时，未扰动系统是Hamilton系统.当m=3时，它具有四次椭圆Hamilton函数，关于其多项式扰动问题已有深入研究，如[75-78].当m=4时，未扰动系统是具有五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统.五次超椭圆Hamilton函数的规范形最早由I.D.Iliev和L.Gavrilov[58]为回答V.I.Arnold[18]的一个问题而提出，而对一类余维五幂零尖点的五参数开折的极限环问题，研究可化归为具有五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统在多项式扰动下的极限环判定[53].本文考虑了三类具有幂零奇点的四次Hamilton系统的多项式扰动，以及另外一类二次可逆非Hamilton系统的四次扰动问题，讨论了它们Abel积分孤立零点的个数估计，以及各类分支产生的极限环个数问题，给出了系统的(伪)Abel积分孤立零点个数的上（确）界估计和系统全局环性数的下界估计.这是与高阶退化奇点多参数开折和弱化Hilbert第十六问题密切相关的研究课题.
　　具体地，本文做了以下工作，
　　一、第一章是一个简要介绍，介绍了本文的主要工作背景，研究进展情况，相关基础理论与方法和本文主要工作内容.
　　二、在第二章，我们研究了一类具有幂零鞍点的同宿环的四次Hamil-ton系统的四次多项式扰动问题，扰动系统是Liénard-(4，3)型.通过Hopf分支分析，得到初等细焦点阶数最多为3，证明了扰动系统存在极限环的(3，0)分布.考虑连接幂零鞍点和分界线的同宿环的扰动，得到系统可分支出3个极限环的参数域.对紧致周期环域的环性数讨论，采用了M.Grau等人考虑Abel积分的一个Chebyshev判据，将Abel积分零点个数的判定问题转化为一个代数判定问题，证明系统Abel积分孤立零点个数最多为4（即Abel积分向量空间是Chebyshev精度1的）.
　　三、在第三章，我们研究了一类具有双曲鞍点，尖点的退化多角环的四次Hamilton系统的三次多项式扰动问题，扰动系统属于Liénard-(4，2)型.通过对一阶Melnikov函数在初等中心附近的渐近展开，得到细焦点阶数最多为2.通过证明其一阶Melnikov函数具有Chebyshev性质，得到周期环域的环性数为2.并且一般性地我们对于一类具有双曲鞍点与k阶尖点的退化多角环的Hamilton系统的扰动系统给出一阶Melnikov函数的渐近展开式，并利用其得到该Liénard-(4,2)型系统退化多角环环性数的下界为2.
　　四、在第四章，我们研究了一类具有幂零中心的四次Hamilton系统的三次多项式扰动问题，扰动系统属于Liénard-(4，2)型.通过计算一阶Mel-nikov函数在幂零中心和双曲鞍点同宿环附近的渐近展开式，得到系统可以产生至少二个极限环;借助M.Grau等人提出的Abel积分的Chebyshev判据及求解半代数系统，证明了其一阶Meilkov函数在紧致周期环域最多具有2个零点.
　　五、在第五章，我们研究了一类具有无界同宿环的二次可逆非Hamil-ton系统的四次多项式扰动问题，扰动系统属于Liénard-(1,3)型.未扰动系统具有指数形式的积分因子，我们利用一些分析技巧结合微分方程定义的积分曲线思想，从几何角度证明(伪)Abel积分具有Chebyshev性质，从而证明了在有限平面系统环性数为1，结果符合Lins-de Melo-Pugh猜想.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景

§1．1．1 弱化Hilbert第16问题

§1．1．2 弱化Hilbert第16问题的部分研究结果

§1．2 研究可积系统微扰的Melnikov函数方法

§1．2．1 Hopf分支

§1．2．2 Poincaré分支

§1．2．3多角环分支

§1．3 本文的主要研究工作，创新与后续工作展望

§1．4 预备知识

§1．4．1 奇点指标理论

§1．4．2 开折(unfolding)与余维(codimension)

§1．4．3 中心流形与正规形

第二章 一类具有幂零鞍点和五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统的扰动

§2．1 前言

§2．2 系统的平衡点与Hopf分支

§2．3 紧致周期环域分支出的极限环

第三章 一类具有退化多角环和五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统的扰动

§3．1 前言

§3．2 Abel积分I(h)零点的个数

§3．3 Melnikov函数在多角环附近的渐近展开

§3．4 I(h)在区间(-108/15625，0)端点处的渐近展开式

第四章 一类具有幂零中心和五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统的扰动

§4．1前言

§4．2 一阶Melnikov函数在周期环域边界的渐近展开

§4．3 Abel积分I(h)的孤立零点个数

§4．4 质心曲线的渐近性态与Picard-Fuchs方程

第五章 一类具有无界同宿环的二次可逆非Hamilton系统的扰动

§5．1 前言

§5．2 二次可逆非Hamilton系统的伪Abel积分

§5．3 扰动无界同宿环的极限环分支

附录一 与Hilbert第16问题研究相关的多项式代数与符号计算

参考文献

攻读博士学位期间发表和完成论文情况

致谢