具有指数型激励的非齐次自治系统的一种高精度精细算法

摘要

自钟万勰院士1994年提出齐次线性自治动力系统的精细算法HPD以来,这一计算力学、工程应用与计算数学的学术交叉点迅速发展,已成为学术热点。本文基于已有的研究成果,围绕多项式展开技术,主要是Chebyshev正交多项式展开技术将精细算法引向深入,开展了含指数型长效精细算法的系列性研究。在实际问题中,经常碰到含指数激励项的非齐次方程,因此研究这类方程的精细算法十分必要。
　　本文的创新工作主要有以下四个方面:
　　(1)新的外推方法及初始N值确定定理
　　本文从精细算法推导过程入手,在分析其误差来源的基础上,通过对不同N值对应的传递矩阵H做适当的线性组合来研究一种新的精细算法的外推,并且在一阶外推的基础上,给出了二阶外推的表达式以及更高阶外推的外推方法。该外推方法不同于传统的外推方法:不是对结果x进行线性组合,而是对传递矩阵H本身进行外推线性组合,因此称为内置型外推方法,记为NW-HPD。算例表明,NW-HPD的计算精度相比于HPD有显著提高。
　　另外在分析误差来源时,使误差项造成的相对误差小于给定的相对误差最大值,给出了初始N值确定定理,算例表明,用该定理选取的N值恰好能够满足给定的精度要求,这样的N值是十分理想的。
　　(2)带指数激励的第二类Chebyshev正交多项式展开技术
　　本文设计的算法记为HHPD-SC,该算法把含有指数型激励的右端函数按照第二类Chebyshev正交多项式经改进变换为含有指数项的特殊多项式展开。文中给出了构造HHPD-SC的具体方法,并对该方法的精度及计算量给出了分析。理论及算例表明,HHPD-SC相对于龙格库塔方法的计算精度及计算量,优势是十分理想的,且HHPD-SC属于长效精细算法,即步长一定时,其传递矩阵保持不变,可多次重复使用。
　　(3)TB-HHPD-SC算法
　　在实际应用中,时常见到测量型右端激励,本文针对含有指数项的测量型右端激励,设计了拓展型可并行计算的长效精细算法TB-HHPD-SC,理论与算例表明:本文的TB-HHPD-SC算法十分有效。
　　(4)PS-HHPD-SC算法
　　在系统矩阵A为实Hamilton矩阵时,考虑到Hamilton系统辛几何算法的优良特性,巧妙地将Hamilton系统辛几何算法与HHPD-SC算法结合,构造了PS-HHPD-SC算法,算例表明,PS-HHPD-SC算法的计算结果更为精确。

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符号说明

第一章引言

1.1 Richardson外推加速方法

1.2精细算法介绍

1.3 Hamilton系统

第二章 精细辛算法及其应用

2.1精细辛算法介绍

2.2本文的主要创新工作

第三章 具有指数型激励的非齐次自治系统的一种高精度精细算法

§3.1 NW-HPD与初始N值的确定

§3.2 精细算法数值算例

§3.3 预备定理

§3.4 HHPD-SC精细算法及数值算例

§3.5 HHPD-SC算法的精度分析、误差分析及计算量分析（与R-K相比较）

§3.6 HHPD-SC算法在结构动力响应分析中的应用

§3.7 HHPD-SC算法的扩展研究之一：含指数且具有分段低次多项式激励的非齐次线性自治系统的长效并行精细算法（TB-HHPD-SC）

第四章 带有指数型激励的线性Hamilton系统的匹配型长效精细算法（简称：PS-HHPD-SC）

§4.1数学模型及匹配型长效精细算法

§4.2数值算例

第五章 作者按“数学系统一要求”撰写的综述报告

5.1非线性系统最优控制理论综述

5.2 空间关联系统的最优控制

5.3 Hamilton体系和辛几何算法

5.4辛差分格式介绍

5.5 基于Hamilton体系辛几何算法求解空间地基问题

参考文献

致谢

附录A 作者对著名科学家的认识：中国航空工业奠基人钱学森简介

附录B 英译中——译文：刚性生化动力学延伸稳定性的仿真方法