基于快速多极子边界元方法的大规模声学计算方法与应用研究

摘要

边界元方法是一种基于积分方程的数值方法，它可以将模型进行降维（三维变为二维，二维变为一维），且仅需要对边界进行离散。因积分方程能自动满足远场辐射条件，比较容易处理无限域问题的边界条件。作为一种半解析的数值方法，边界元方法在外部问题求解中比其它数值方法的精度更高，比较适用于声学分析计算。边界元方法虽然降低了模型的维数，但是生成的系数矩阵是满的、非对称的，甚至是奇异的，导致其系数矩阵存储量和求解计算量过大，限制了其在大规模声学计算中的应用。
　　但目前声学分析和研究的问题逐渐向大规模、多物理场方向发展，如潜艇辐射和散射声场、大飞机起落噪声、生物组织声学特性及结构-声学优化等的模拟计算。这些模型的离散自由度将会在十万甚至百万的量级上，迫切地希望边界元方法能够快速地完成大规模结构声场的分析计算。快速多极子方法极大地降低了边界元方法的内存，提高了计算效率，为大规模声学问题的计算和分析提供了一种可能的选择。
　　针对大规模声学计算对边界元方法的迫切需求，本文基于快速多极子算法，对自由空间、多联通域和半空间的声学问题，及声辐射模态理论进行了系统的分析，提出新的理论，发展相应的快速多极子边界元算法，以解决大规模声学计算中边界元方法内存占用量大和计算效率低的难题。并分别将这些新算法用于实验辐射声场的预测和大规模结构的声功率优化，充分显示所发展的快速多极子边界元方法在重大工程声学问题分析中的超强计算能力，及在以整体声学特性为目标的产品声学设计中的广阔应用前景。本文的主要研究内容如下：
　　提出了一种解析的方法用来计算常数单元上奇异积分显式表达式中的两种线积分，并进行了误差分析。解决了常数单元离散下Burton-Miller方程中奇异积分的计算难题。
　　对于高频快速多极子边界元方法，推导了常数单元和线性单元上的解析源点矩计算公式，提高了源点矩的计算效率和精度，从而进一步提高了高频快速多极子边界元方法的整体计算效率。将具有解析表达式的高频源点矩用于低频快速多极子边界元方法的上行传递计算中，在保留了低频快速多极子边界元方法内存使用量小的优点的同时，提高了源点矩的计算效率和精度。将所发展的低频和高频快速多极子边界元方法进行恰当的组合，改进了全频段快速多极子边界元方法。所发展的快速多极子边界元方法可以快速精确地对较宽频带内的大规模声学问题进行分析计算。
　　将基于Burton-Miller方程的快速多极子边界元方法推广到多联通域声学分析。采用每个区域单独生成一个树状结构的方法对模型进行分组离散，解决了多联通域快速多极子边界元方法在算法实现上的困难。发展了一种基于边界块对角的预处理方法，改善了系数矩阵的条件数，减少了迭代求解的次数。所发展的快速多极子边界元方法大大提高了多孔吸声材料的设计、水下结构声学探测及生物组织中声学特性模拟等大规模多联通域声学问题的计算效率。
　　发展了基于Burton-Miller方程的无限大阻抗平面上的快速多极子边界元方法。提出新的算法，将下行传递分成实栅格对实栅格和虚栅格两部分，推导了分段解析表达式用于M2L转换系数的精确、快速计算，从而巧妙地解决了Green函数中无穷积分项的快速多极子边界元方法的实现难题。将分段解析方法与多层树状结构相结合，进一步提高了M2L转换系数的计算效率，同时方便了临近栅格内单元间系数的直接计算。所发展的半空间快速多极子边界元方法拓宽了传统算法的应用范围，大大提高了半空间阻抗平面上快速多极子边界元方法的计算效率，从而可以对半空间阻抗平面上的大规模声学问题进行快速和精确的模拟计算。
　　将快速多极子边界元方法和迭代特征值求解器相结合，发展了一种新的方法用于无限大障板上大规模结构的声辐射模态的快速计算。对于三维模型，基于等效源方法，Green函数的多极子展开式和边界积分方程，首次提出了映射声辐射模态的概念。理论上证明了Helmholtz方程的球函数基本解可以做为一组映射声辐射模态，并发展了一种较为简单的基于映射声辐射模态的辐射声功率计算方法。所发展的基于快速多极子边界元方法的映射声辐射模态，有效地解决了大规模辐射模型的声功率计算难题，并为基于辐射声功率的结构-声学优化提供了技术手段。
　　基于快速多极子边界元方法对圆柱壳辐射声场进行了预测。提出新的基于Fourier级数和Lagrange函数的插值方法，更精确和方便地得到圆柱壳表面其它任意位置的表面加速度。然后使用所发展的快速多极子边界元方法，将插值得到的表面加速度作为输入，对声场进行分析计算。实测声场和预测声场的比较结果表明了所发展的快速多极子边界元方法及表面插值算法在圆柱壳结构辐射声场预测中的正确性。
　　将所发展的快速多极子边界元方法，及基于此方法提出的映射声辐射模态理论，与优化算法相结合，以辐射声功率为目标函数，分别对压缩机壳体加筋位置和潜艇阻尼布局进行了优化。为进一步提高目标函数的计算速度，满足对潜艇模型的阻尼布局优化，将有限元商用软件和所开发的快速多极子程序在Matlab环境中集成，开发了并行算法。优化过程在可接受的时间内给出了较为理想的结果，充分显示了所发展的理论和算法在大型工程结构低噪声优化中的重要应用价值。
　　开发了一款快速多极子边界元方法软件，为大规模声学分析提供一种强有力的计算工具。

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第一章 绪论

1.1 研究背景与意义

1.2边界元方法

1.3声学快速边界元方法

1.4本文研究思路和主要研究内容

第二章 自由空间快速多极子边界元方法

2.1引言

2.2声学波动方程

2.3 声学积分方程

2.4 声学边界元方法

2.5高频快速多极子边界元方法

2.6高频快速多极子边界元方法数值算例

2.7低频快速多极子边界元方法

2.8低频RCR快速多极子边界元方法

2.9低频快速多极子边界元方法数值算例

2.10 全频段快速多极子方法

2.11 全频段快速多极子边界元方法数值算例

2.12 本章小结

第三章 多联通域快速多极子边界元方法

3.1 引言

3.2多联通域声学问题及传统边界元方法

3.3多联通域快速多极子边界元方法

3.4数值算例

3.5本章小结

第四章 半空间快速多极子边界元方法

4.1 引言

4.2半空间阻抗平面问题及传统边界元方法

4.3半空间阻抗平面快速多极子边界元方法

4.4数值算例

4.5本章小结

第五章 基于快速多极子边界元方法的声辐射模态理论

5.1引言

5.2声辐射模态理论

5.3无限大障板声辐射模态分析

5.4无限大障板上结构的声辐射模态算例

5.5三维结构的声辐射模态

5.6基于映射声辐射模态的数值算例

5.7本章小结

第六章 基于快速多极子边界元方法的辐射声场预测

6.1 引言

6.2实验系统介绍

6.3基于参考源的测试技术

6.4圆柱壳表面速度插值

6.5测试结果分析

6.6本章小结

第七章 基于快速多极子边界元方法的声学优化方法

7.1 引言

7.2 压缩机壳体优化

7.3大型水下航行器阻尼布局优化

7.4本章小结

第八章 总结与展望

8.1 全文工作总结

8.2主要创新点

8.3 研究展望

附录 A 特殊函数

附录 B 显式奇异积分的解析计算方法

附录 C 解析源点矩

附录 D 单位球面上的积分和插值

附录 E 低频快速边界元方法的传递系数

附录 F 球Hankel函数导数模的封闭表达式

附录 G 声学快速多极子边界元软件开发

参考文献

攻读博士学位期间完成的学术论文及其它成果

致谢