曲面的Clifford定理与零维行列式子概型的Cayley-Bacharach性质

摘要

Brill-Noether理论是研究代数曲线上的特殊除子或线性系的经典理论,Clifford定理是这个理论的第一步.本文的主要目的是想推广代数曲线上的Clifford定理到光滑代数曲面S上.
　　 在代数曲面的研究中,一个基本而重要的问题是研究伴随线性系｜Ks+L｜.初略地讲,是研究这个线性系在L的正性下的行为.当L>0时,我们有著名的Reider方法来研究这个问题(见[81]).当L=0时,典范线性系已经被Beauville系统的研究过(见[11]).当L<0时,这个线性系在曲线上对应着特殊除子.尽管如此,在曲面情形时,我们还没有一般的理论来研究这样的线性系.为了找到一套研究曲面上特殊线性系的方法,我们首先需要建立曲面上的Clifford定理.本文从两种不同的角度对Clifford定理进行了推广.并且用推广的结果定义了两个类似于曲线上Clifford指标的不变量α和β.我们研究了这两个不变量的基本性质,给出了它们的一些界.当α和β较小时,我们给出了对应的曲面的较详细的刻画.作为应用我们给出了曲面模空间维数的一个上界估计.我们还将我们的技巧做进一步的推广,给出高维代数簇的一些数值不等式.
　　 另外,我们还研究了代数簇的另一个重要的性质:Cayley-Bacharach性质.代数簇的Cayley-Bacharach性质在经典代数几何的研究中已经有很长的历史了(见[29]).在[88]中,谈胜利证明了代数簇上零维完全交子概型的Cayley-Bacharach性质等价于某个伴随线性系的κ-very ample性.而在[91]中,谈胜利和Viehweg推广了这个结果,证明了代数簇上由一个向量丛的一个整体截面定义的零维子概型的Cayley-Bacharach性质等价于某个伴随线性系的κ-very ample性.我们在本文中我们对于这些结果做了进一步推广,证明了对于代数簇上由一个向量丛的多个整体截面的外积定义的零维子概型,这个结果任然正确.这同时也是Griffiths和Harris的一个定理的推广(见[35],p.677).作为应用,我们给出了通过余维数为二的闭子概型构造高秩自反层和向量丛的方法.这推广了Hartshorne-Serre对应.并且我们还可以得到由向量丛的一些整体截面的外积定义的零维概型对应的代数几何码的最小距离的下界估计.

目录

文摘

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第一章 引言

1.1 研究背景

1.2 主要结果

1.3 符号说明

第二章 预备知识

2.1 曲面的双有理分类

2.2 曲面上的一些不等式

2.3 曲面上的线性系

2.4 曲面上的消失定理

2.5 次覆盖的基本理论

第三章 定理1.1和1.2的证明

3.1 定理1.1的证明

3.2 定理1.2的证明

第四章 曲面上的Clifford型指标

4.1 Clifford型指标的定义

4.2 Clifford型指标的基本性质

4.3 α=0的曲面和β=0的曲面

4.4 α=1的曲面

第五章 曲面模空间的维数

第六章 高维簇的数值不等式

第七章 Eagon-NortlleOtt复形

第八章 Cayley-Bacllarach性质

8.1 方程(7-1)的解

8.2 k-very ample和Cayley-Bacharach性质

第九章 自反层和向量丛的构造

9.1 自反层的构造

9.2 向量丛的构造

第十章 行列式码的最小距离

第十一章问题与展望

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢