Loeb测度绝对连续性和奇异性若干问题的讨论

摘要

本文在非标准饱和模型下，利用Loeb测度对测度论中的若干概念和命题进行了非标准描述和刻画，并在一定程度上推广和发展了Loeb空间的一些重要结论。这不仅丰富了非标准分析的内容，而且从非标准分析的角度研究和发展了测度论。一方面，通过对内测度空间及Loeb测度空间的讨论，更加体现了非标准测度论的内在特性;另一方面，为进一步用非标准分析方法讨论测度论提供了一种研究方法和思路。
　　 在第一、第二章中，对非标准分析的产生、发展、研究现状及其基本理论进行了简单的概述。通过对非标准分析理论中的公理的描述，给出了公理化的非标准分析，在此基础上，讨论了非标准模型的一些基本性质和非标准饱和模型，并给出了非标准饱和模型的若干等价条件。
　　 第三章，在内测度空间(Y,(A),v)上，通过两种不同的方法构造出了Loeb测度空间(Y,L(A)，vL)，并证明了它们的一致性。然后，讨论了Loeb可测函数和Loeb积分的一些基本性质。
　　 第四章中，首先给出Loeb测度绝对连续性的定义，讨论了Loeb测度绝对连续性的相关性质，给出内有限可加测度空间与由其导出的Loeb测度空间的关系;然后讨论了Loeb测度空间中的Radon-Nikodym定理。
　　 在第五章，给出了内有限可加测度空间和Loeb测度空间的奇异性以及支撑的概念，并讨论了它们的性质。接着讨论了内有限可加测度和Loeb测度的Lebesgue分解，并给出L(’u)=L(’ua)+L(’vs)的重要结论。

目录

1 绪论

2 非标准分析基本理论

3 Loeb测度基本理论

4 Loeb测度的绝对连续性

5 Loeb测度的奇异性

致谢

参考文献

附录：硕士研究生学习阶段发表论文

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