服务台数可变情况下队列的等待时间

摘要

本文主要研究在高负荷条件下，服务台数可变并限定服务台变化的条件时，顾客队列和服务台队列的等待时间。排队系统的本质是研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题，系统的最优设计和最优运营一直都是研究的重点。在等待空间无限时，顾客和服务台的最优化可以使顾客和商家共赢。在一定的时间内，等待服务的顾客超过限定数值时，可以申请开启新的服务台。新的服务台的开启，会使顾客的等待时间相对减少，从而可以减少顾客流失，降低顾客放弃率。
　　本文主要研究初始系统为空，顾客等待空间无限时，服务台数量增加的情形。对于服务系统，新的服务台是否开启依赖于系统中等待服务的顾客数。本文通过建立服务台数可变情况下的排队模型，规定了在此模型中先到先服务的服务规则，以及新的服务台开启的条件和服务台变化的限定条件。本文限定当t时刻，等待中的顾客数量达到M时，申请开启新的服务台，但是由于服务台的开启会增加资本的投入，本文限定服务台最多只能开启n台。当达到新服务台开启条件时，申请开启新的服务台，顾客的服务规则不变，而且顾客只在服务完成的情况下离开服务系统。本文主要考虑了两种队列，顾客队列和服务台队列的等待时间。
　　本文得出了在服务台数可变情况下，随机过程的泛函弱大数定律和泛函中心极限定理，并运用连续映射定理给出了证明。本文还研究了服务台队列和顾客队列等待时间的相关性质，证明了顾客队列有界等待时间Wc的可微性，并用常微分方程解的存在唯一性定理证明了Wc的存在性和唯一性；用构造函数的方法构造了具有右连续、左极限性质的顾客队列的虚等待时间Vc，并证明了Wc和Vc的关系；用常微分方程解的存在唯一性定理、Wc和Vc的关系证明了Vc的可微性、存在性和唯一性。本文用递推的方法说明了服务台队列等待时间的连续性。最后在M/M/nt模型中研究了顾客队列和服务台队列等待时间的性质。