分数阶泛函微分方程边值问题解的存在性

摘要

分数阶微积分理论是一个研究任意阶次微分、积分算子特性及其应用的数学理论，其发展历史至今已经有300多年。有关分数阶微分方程边值问题的理论研究已经引起了国内外许多数学工作者的广泛关注，并且在物理学、生物学、通讯工程等多个领域都得到了广泛的应用。近年来，不少专家学者将泛函微分方程理论引入分数阶微分方程，开始关注分数阶泛函微分方程的相关理论研究。分数阶泛函微分方程能够更精确地描述客观世界的自然规律和本质属性，因而具有更丰富的理论研究意义和应用价值。
　　本文研究的主要内容是分数阶泛函微分方程边值问题解的存在性，其中包括奇异边值问题、Sturm-Liouville边值问题、多点边值问题以及方程中带有参数、边值条件含有参数等多种不同类型，涉及解或者正解的存在性和唯一性，得到一些新的结果。
　　第一章叙述有关分数阶微积分理论的研究背景、发展历史和研究现状，分数阶泛函微分方程边值问题的研究现状与研究意义，列出有关分数阶微积分理论的基本定义、引理和本文运用的主要方法，简要介绍本文研究的主要内容。
　　第二章研究两类具Caputo导数的分数阶泛函微分方程三点边值问题解的存在唯一性。利用Schauder不动点定理、Schaefer不动点定理和Banach压缩映像原理，分别给出两类问题存在唯一解的几个充分条件。
　　第三章研究分数阶泛函微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性。利用Banach压缩映像原理、不动点指数理论和Krein-Rutman定理，给出该类问题存在唯一解的充分条件。
　　第四章研究分数阶泛函微分方程Sturm-Liouville边值问题正解的存在性。利用不动点指数理论和Guo-Krasnoselskii不动点定理，分别给出该类问题存在正解的充分条件。
　　第五章研究一类变号分数阶泛函微分方程奇异边值问题正解的存在性。利用Guo-Krasnosel'skii不动点定理，给出了该类问题存在正解的充分条件。
　　第六章总结与展望。归纳总结本文研究的主要工作和创新点，并对未来的研究工作进行展望。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景

1．2 预备知识

1．3 本文主要内容

第二章 具Caputo导数的分数阶泛函微分方程三点边值问题解的存在性

2．1 边值问题(2．0．1)解的存在唯一性

2．1．1 预备知识

2．1．2 解的存在性

2．1．3 解的唯一性

2．2 边值问题(2．0．2)解的存在唯一性

2．2．1 预备知识

2．2．2 解的存在唯一性

2．3 本章小结

第三章 分数阶泛函微分方程多点边值问题解的存在性

3．1 预备知识

3．2 解的唯一性

3．3 正解的存在性

3．4 本章小结

第四章 分数阶泛函微分方程Sturm-Liouville边值问题正解的存在性

4．1 预备知识

4．2 正解的存在性

4．3 本章小结

第五章 分数阶泛函微分方程奇异边值问题正解的存在性

5．1 预备知识

5．2 正解的存在性

5．3 本章小结

第六章 总结与展望

6．1 总结

6．2 创新点

6．3 展望

参考文献

致谢

附录