基于Bregman迭代的l1模极小化方法及其应用

摘要

随着压缩感知理论的发展,稀疏表示理论已经成为图像处理和信号处理等领域的研究热点,l1模的应用以及求解l1模相关优化问题也随之成为了国内外许多学者关注的焦点。本文主要围绕着Bregman迭代公式的等价性、稀疏最小二乘问题的求解算法以及相关算法在稀疏信号恢复中的应用等方面展开了较深入地研究,主要研究成果及创新点如下：
　　 ⑴对线性Bregman迭代公式中所运用的阈值算子给出了一种极小化问题求解表达式,加深了对线性Bregman迭代方法的理解。
　　 ⑵在不同的情况下,讨论了线性Bregman迭代公式中所存在的一些等价关系;同时给出了最小二乘问题的一种等价形式;通过对最小二乘极小化问题的研究,重新推导了线性Bregman迭代公式。
　　 ⑶提出了一种求解稀疏最小二乘问题的基于广义正交投影的Bregman迭代新方法,并证明了A+线性Bregman迭代方法可视为新方法的一种特殊情形,扩大了线性Bregman迭代方法的应用范围;同时证明了运用新算法所获得的解是含有最小二乘约束的l1模极小化问题的一个最优解;通过对稀疏信号恢复问题进行了数值实验。与A+线性Bregman迭代算法相比较,新算法具有迭代次数少,运算速度快,有效减少停滞现象等优点.
　　 ⑶研究了一类求解矩阵近似内逆的迭代方法,证明了通过该迭代方法所求矩阵的内逆实际上为Moore-Penrose逆,并给出了相应迭代方法的收敛性分析。实验结果证实了应用该类迭代法能够有效地提高求解矩阵Moore-Penrose逆的近似值的计算速度。