曲面造型中散乱数据插值曲面问题的研究

摘要

本文对曲面造型中散乱数据插值曲面问题进行了研究。构造散乱空间数据插值曲面技术在CAD、计算机图形学、气象和勘探等各类科学研究和工程设计中有广泛的应用。 由于工程曲面的不规则性，以及散乱数据的无明确规律和无序性，很难用单一的数学形式把曲面表达出来，因此一般采用分片的方法设计曲面，最后将各曲面片光滑的连接起来，形成一个完整的曲面。目前最常用的曲面片是三边曲面片和四边曲面片。由于三角插值方法的几何意义明显，便于调整，成为重要的曲面构造方法。构造插值曲面的常用方法之一就是对给定的散乱数据进行三角剖分，根据边界连续条件构造每个三角形区域上的插值曲面片，整体的插值曲面由各个曲面片拼合而成。三角域上的插值包括有理插值[5]和多项式插值两种方法，其中多项式插值因为其结构简单，易于计算的优点，应用尤为广泛。 不同的插值方法常会有各自的缺点，大致会有以下几种：构造方法复杂，所需要的插值条件限制较多；插值方法限制给定数据点个数不是太大时是可行的；对所形成的三角形网格的顶点的某些特性进行限制；在数据点的局部区域上形成一个整体曲面[8]，而整体曲面有时很难具有数据点所建议的曲面形状，或者所构造的整体曲面局部调整性较差；由运算结果得不到唯一的插值曲面等。 针对上述问题，该论文提出了一种构造插值曲面的新方法。新方法把空间数据点作三角划分，在每个顶点处构造一个二次分片多项式曲面片，每个三角形上的曲面片由三个顶点处的曲面片加权平均产生。由于在每个顶点处构造的是C1连续的二次分片多项式曲面片，所以用新方法构造的插值曲面具有较好的保形性和局部调整性。此外，文章详细分析了由边界连续条件构造的方程组在不同情况下的求解过程，给出了简单方便的求解方法。新方法可有效地构造对空间散乱数据点进行插值的光滑曲面。所构造的插值曲面具有二次多项式的插值精度。 考虑到不同的应用背景，对构造光顺曲面，文章又提出了一种新的基于能量最小准则的散乱数据点多项式插值方法。构造局部曲面片所需的求解条件仅从该区域上获得，根据能量最小准则确定未知量，使构造的曲面具有更为理想的局部调整性。新方法所构造的曲面具有原始数据点所建议的形状，并且对原数据点褶皱较大部分的插值曲面具有更好的光顺性。最后还同原有方法进行了比较。 但上述两种方法最终得到的是7次插值多项式，对C1连续的多项式插值来讲次数太高。在今后的研究中要对权函数进行改进，以降低插值曲面的次数，得到更为稳定简洁的方法。曲面的光顺性是CAGD中非常重要的一个研究问题，在以后研究当中，将依据曲面的光顺性准则进行曲面光顺性的改进。

目录

文摘

英文文摘

原创性声明和关于学位论文使用授权的说明

第一章引言

第二章散乱数据插值曲面概述

第三章散乱数据点的多项式插值

第四章散乱数据点分片二次多项式加权平均插值

第五章基于能量最小准则的散乱数据多项式插值

第六章总结与展望

参考文献

致谢

读学位期间发表的学术论文及参与项目