g-函数，弱基g-函数及基数函数的应用

摘要

一般拓扑学从开创至今已经历了一百多年的历史，虽然它的发展相对于其它一些数学学科如分析学，代数学，欧式几何学和数论要晚了许多，但是经过一百多年，特别是二十世纪五十年代到七十年代的蓬勃发展，拓扑学的理论已日趋成熟与完善．在一般拓扑学的研究和发展过程中拓扑空间的可度量化问题始终是一个中心课题，这是因为度量空间本身具有许多良好的性质，在数学的各个领域内有着重要的应用．拓扑学中第一个度量化定理是由Alexandroff和Uysohn于1923年发表的： T<,O>空间可度量化当且仅当它有一个正则的展开．1925年，Urysohn证明了一个经典结论：每一正则具有可数基的空间是可度量化的．自从Urysohn的结果发表以后，给出“一般的度量化定理”的问题就被提出来了。这一问题要求寻找一个度量化定理使得Urysohn的经典结果是其简单和自然的推论．直到二十世纪五十年代，这一问题才由三位数学家分别独立得到，其中Nagata[1950]和Smirnov[1951]用σ-局部有限的基来刻画度量空间，Bing[1951]用σ-离散基来刻画度量空间．之后，越来越多的拓扑学家通过各种不同的工具和方法来研究度量化定理．比如，C<,σ>对角线，点可数基(它是σ-局部有限的基和σ-离散基的推广)，β-基，g-函数，以及近年来定义的弱基g-函数等等．并且得到了许多重要的结论，丰富了度量化定理的研究。 同时，我们也应该注意到在众多的重要的拓扑空间中能够度量化的空间仅占极少部分，因此研究与度量空间有密切联系的广义度量空间的性质就具有非常重要的意义．本文中，我们没有定义新的广义度量空间，因为随着一般拓扑学的迅猛发展，各种形式的度量空间的推广已经非常丰富．我们试图用已有的拓扑学中研究广义度量空间的重要工具---g--函数去研究两类比较重要的拓扑空间的性质． 在第一章中，我们以弱基g-函数为工具研究了度量化定理，主要的结果分为三个方面．首先在第1.3节中，我们讨论了由高智民教授和彭良雪教授给出的两个度量化定理条件之间的关系，指出它们是相互不包含的．从而提出一个问题：是否存在两个度量化定理，分别是上述两个度量化定理的推广?然后，在第1.4节中，我们通过对上述问题的研究，定义了几个关于弱基g-函数的新条件，减弱了已知的弱基g-函数的条件，从而解答了上述问题．最后，在第1.5节中，我们进一步研究了度量化定理，减弱了一个由A.M.Mohamad给出的度量化定理的条件，得到了该定理的一个推广． 在第二章中，我们主要研究了两类重要的广义度量空间：σ-空间和WN-空间的性质．首先在第2.3节中，我们利用CF-集族和g-函数的概念对于正则Frechet条件下的σ-空间进行了刻画，给出了判定正则Frechet空间是σ-空间的一个充要条件，通过该刻画与已有结论的比较可以看出在相同条件下σ-空间与Lasnev空间的差别．在第2.4节中，我们对WN-空间的可膨胀性进行了研究。得到了正规条件下WN-空间可膨胀的一个条件．并且我们知道在q-空间中WN-空间与MCP空间是等价的，故此结论对于Chris.Good在2000年提出的“MCP空间是否是可膨胀的”这一问题的最终解决也起着重要的作用． 定义于拓扑空间到基数集内的对应f称为基数函数，若对于每一个拓扑空间X，对应一个基数f(X)使得如果空间X同胚于空间y，则F(X)=f(y)．基数函数将一些重要的拓扑性质扩展到了高基数的情形。R.Hodel[1984]指出：基数函数是集论拓扑中最有效和最重要的统一概念之一． 在第三章中，我们主要借助一般拓扑学中基数函数的概念来研究L-fuzzy保序算子空间的基本性质．因为在一般的拓扑空间中，权，特征和稠密度是非常重要的三类基数函数，它们往往能够反映空间在整体及局部上的拓扑性质，是十分重要的拓扑概念．相应地，本章中我们在L-fuzzy保序算子空间中引入ω-权，ω-特征和ω-稠密度这三个基数函数的概念并系统的讨论了这些概念的基本性质，得到一些定理。它们是陈水利2004年文章中相应结论的一般形式。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

原创性声明及关于学位论文使用授权的声明

Chapter 1 用弱基g-函数刻画的度量化定理

§1.1引言

§1.2预备知识

§1.3问题的提出

§1.4度量空间的刻画

§1.5关于度量化定理的进一步的研究

Chapter 2 关于σ-空间和WN-空间

§2.1引言

§2.2预备知识

§2.3σ-空间的刻画

§2.4 WN-空间的可膨胀性

Chapter 3 基数函数的应用

§3.1引言

§3.2预备知识

§3.3 L-fuzzy保序算子空间的ω-权

§3.4 L-fuzzy保序算子空间的ω-特征

§3.5 L-fuzzy保序算子空间的ω-稠密度

Bibliography

致谢

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