基于切向约束的二次B样条插值曲线的研究

摘要

B样条插值曲线因具有保凸性、局部性和连续性等优点而被广泛研究，目前已有大量研究成果存在，但如何有效地控制插值曲线的形状仍然是一个没有解决好的问题，特别是控制偶次B样条插值曲线的形状始终值得探讨。由于二次B样条曲线形式简单，在连续性要求不高的情况下作为插值曲线易于计算，因此目前对偶次B样条的研究主要集中在二次上。 在插值点已给定的情况下，二次B样条插值曲线的形状主要取决于参数化的方法和相邻曲线段连接处的选取以及插值曲线的构造方式。参数化的目的是为每一个插值点指定一个具体的参数值，不同的参数化方法得到不同的节点向量；一条样条插值曲线是由若干条曲线段连接而成，当相邻曲线段的连接处取在整节点上时，插值点即处在各曲线段的连接处，若未取在整节点上，则插值点各自位于一段曲线内，不会正好处在两相邻段之间，最典型的事例就是二次样条曲线，各相邻曲线段的连接处取在半节点上；由于二次曲线本身不含拐点，在插值点分布不均、拐点过多或弯度过大时，若插值方式不合理则所得的插值曲线的形状将会不自然，从而难以在工程上应用。因此，恰当的参数化方法、合理地选取相邻曲线段的连接点以及采用适当的曲线构造方式是取得良好的曲线形状的关键，另外，在构造过程中留有一定的自由度也是控制曲线形状的有效手段之一。 本文研究的是将相邻曲线段的连接点取在插值点上的情况，提出了一种新的数据点参数化方法和插值曲线的构造方法。由于节点值与二次B样条曲线的形状之间关系复杂，传统的仅根据插值点的几何分布信息从整体上决定节点向量的方法很难达到预期效果，新的参数化方法考虑到二次B样条插值曲线的形状与插值点的切向之间的密切联系，在已知插值点的切向或未知切向用任意一种导数估计方法估计出切向的前提下，将插值点的切向约束引入到参数化中来，在插值过程中递推确定节点向量和控制点，充分利用了二次B样条曲线本身的几何性质，使各段曲线都有预期的几何形状。新方法不但可以通过改变切向值直观地控制曲线形状，而且当插值点间的弯度越小时节点间隔越小，即若把参数化比作粒子的运动则路途弯度越小时运动速度越快。当切矢所建议的曲线形状不好或有拐点时将之分成2-4段构造，称为复合二次B样条插值曲线。新曲线涵盖了切矢的所有角度，在构造过程中留有用于调整形状的自由度并给定了自由度的通用取值，方便用户使用并具有良好的局部性。新的参数化方法与曲线构造方法相结合，能保证曲线在每个插值点处都具有指定的切向。为更好地证明上述优越性，文中将新方法与已有的参数化方法和插值方式进行了实例对比。

目录

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声明

第一章绪论

1.1课题研究背景和意义

1.2二次B样条插值曲线的研究现状

1.3研究目的和主要研究成果

1.4各章节安排

第二章B样条插值曲线相关知识

2.1基础知识

2.1.1插值与逼近

2.1.2多项式基

2.1.3数据点的参数化

2.1.4插值曲线的连续性

2.1.5常用的导数估计方法

2.2 B样条插值曲线

2.2.1 B样条曲线

2.2.2传统的B样条插值

第三章基于切向约束的参数化方法

3.1问题的提出

3.2 Piegl的方法

3.3新的参数化方法

3.3.1概念和引理

3.3.2切向约束与控制点的选取

3.3.3新参数化方法

3.3.4相关性质定理及其证明

3.4小结

第四章构造复合二次B样条插值曲线

4.1复合二次B样条插值曲线

4.2构造复合二次B样条插值曲线

4.3算法

4.4本章小节

第五章实例分析

第六章总结与展望

参考文献

致 谢

攻读硕士学位期间发表的论文

攻读硕士学位期间参与的项目