动力系统中的小除数问题及芽和向量场的线性化

摘要

19世纪末20世纪初,Poincaré等人从经典力学和微分方程定性理论的研究中,提出动力系统的概念.动力系统的现代研究,则始于20世纪60年代初Peixoto等人的工作.在Smale和其他许多学者的倡导和推动下,这一学科的基本理论取得了重大的进展.自20世纪70年代以来,动力系统的研究更广泛的向各个应用领域发展,如经济数学、气象预报、数值计算、统计力学、振动理论、化学反应、生理过程、生态和人口问题等.这一学科之所以受到普遍重视,不仅因其丰富而深入的理论,而且特别是由于它的广泛而有成效的应用已成为当今非线性科学研究的热点.
　　 本文主要研究了动力系统中的小除数问题、Shabat方程的解析解和光滑解的存在性问题以及芽和向量场的线性化问题.
　　 本文的第一章介绍了小除数问题和线性化问题的有关概念和发展状况,为第二、三、四、五章的证明提供必要的理论基础.
　　 本文的第二章和第三章主要研究了Shabat方程和一类Shabat型方程的解析解及光滑解的存在性.Y.Liu[43]证明了Shabat方程在Diophantine条件下解析解的存在性.本文对其结论进行了推广:证明了Shabat方程在比Diophantine条件更弱的Brjuno条件下的解析解的存在性.针对小除数的形式,本文对Davie引理进行了改进,并找到一个比Brjuno条件还要弱的算数性条件,证明了在满足此算数性条件下Shabat方程和Shabat型方程一类非解析光滑解-Gevrey类解的存在性.
　　 本文第四章主要研究了具有拟抛物不动点的解析芽的线性化问题,研究的难点在于此类问题存在共振的情况。本文对Rong[56]的结论进行了推广.第五章主要研究了拟抛物解析向量场的线性化问题,把拟抛物解析函数芽线性化问题的相关结论推广到了解析向量场.

目录

文摘

英文文摘

论文说明:符号说明

第一章 引言

§1.1 siegel中心问题

§1.2 预备知识

§1.3 算数性条件

第二章 Shabat方程的解析解

§2.1 问题的描述

§2.2 (H1)情形下方程的解析解的存在性

§2.3 (H2)情形下方程的解析解的存在性

§2.4 (H3)情形下方程的解析解的存在性

§2.5 新的算数性条件下方程的Gevrey类解的存在性

第三章 一类Shabat型方程的解析解

§3.1 问题的描述

§3.2 (H1)情形下方程的解析解的存在性

§3.3 (H2)情形下方程的解析解的存在性

§3.4 (H3)情形下方程的解析解的存在性

§3.5 新的算数性条件下方程的Gevrey类解的存在性

第四章 一类全纯芽的线性化

§4.1 问题的描述

§4.2 定理的证明

§4.3 理论准备

第五章 一类解析向量场的线性化

§5.1 问题的描述

§5.2 两个算数性条件的关系

§5.3 定理的证明

参考文献

致谢

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